Ache a solução geral do sistema de equações dado e desenhe o retrato de fase correspondente:
X^{\prime}=\left[ \begin{array}{rr}0 & 2 \\ -2 & 0\end{array}\right] X

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear a seguir e pede duas coisas: achar a solução geral e desenhar o retrato de fase.
X'=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] -2 & 0\end{pmatrix}X
As informações relevantes do enunciado são:
  • A matriz de coeficientes é A=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] -2 & 0\end{pmatrix}.
  • Deve-se obter a solução geral X(t) (com constantes de integração reais) e descrever o retrato de fase (forma das trajetórias, orientação e velocidade angular).]

Passo 2

Transformar o sistema em equações escalares e isolar uma variável para reduzir a ordem.
Escrevendo X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt] y(t)\end{pmatrix}\) o sistema dá \[\begin{cases} x'(t)=2y(t),\\[4pt] y'(t)=-2x(t). \end{cases}
A ideia é eliminar y\] para obter uma equação somente em \(x. Diferenciando a primeira equação:
x''(t)=2y'(t).
Substituindo y'(t)=-2x(t) obtemos uma equação de segunda ordem apenas em x:
x''(t)=2(-2x(t))=-4x(t).]

Passo 3

Resolver a equação de segunda ordem obtida. A equação é
x''(t)+4x(t)=0.
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples com frequência angular \omega=2. A solução geral real dessa equação é
x(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
onde C_1 e C_2 são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.
Explicando rapidinho por que essa forma: para a equação x''+\omega^2 x=0 as funções \cos(\omega t) e \sin(\omega t) são soluções independentes; combinações lineares delas formam a solução geral.

Passo 4

Determinar y(t) a partir de x(t) usando a relação x'(t)=2y(t). Primeiro calcule x'(t):
x'(t)=-2C_1\sin(2t)+2C_2\cos(2t).
Dividindo por 2 (pois y=\tfrac{1}{2}x') obtemos
y(t)= -C_1\sin(2t)+C_2\cos(2t).
Pronto — temos x(t) e y(t) em termos de C_1,C_2.

Passo 5

Escrever a solução em forma vetorial e comentar sobre as constantes.
A solução geral vetorial fica
X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt] y(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\\[6pt] -\,C_1\sin(2t)+C_2\cos(2t) \end{pmatrix},
com C_1,C_2\in\mathbb{R} constantes arbitrárias. Alternativamente, em termos da exponencial matricial, podemos escrever
X(t)=e^{At}X(0),
e como A^2=-4I resulta
e^{At}=\cos(2t)\,I+\frac{\sin(2t)}{2}\,A = \begin{pmatrix} \cos(2t) & \sin(2t)\\[4pt] -\,\sin(2t) & \cos(2t) \end{pmatrix}.
Isso confirma que a solução é uma rotação do vetor inicial.]

Passo 6

Mostrar que as trajetórias no plano são círculos e obter a orientação e velocidade angular.
Calcule a quantidade r^2(t)=x(t)^2+y(t)^2. Usando as expressões de x e y (ou observando que e^{At} é ortogonal) tem-se
r^2(t)=x(t)^2+y(t)^2=C_1^2+C_2^2,
que é constante no tempo. Portanto as trajetórias são círculos centrados na origem com raio R=\sqrt{C_1^2+C_2^2}.
Para saber a orientação e a velocidade angular, passe para coordenadas polares x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta. Substituindo no sistema e igualando coeficientes obtém-se r'(t)=0 e \theta'(t)=-2. Logo o ângulo \theta(t) varia linearmente como \theta(t)=\theta(0)-2t. Isso diz duas coisas:
  • A velocidade angular é |\theta'|=2.
  • O sinal negativo indica que a rotação é no sentido horário (clockwise).

Passo 7

Resumo físico-intuitivo e dica para a prova.
  • A matriz A gera rotações uniformes no plano com velocidade angular 2. Sempre que a matriz tiver a forma \begin{pmatrix}0 & \omega \\[4pt] -\omega & 0\end{pmatrix} obtém-se oscilações com frequência \omega.
  • No momento da prova, uma rota prática: derive uma variável para reduzir a ordem (como fizemos) e extraia a outra via relação entre derivadas — é rápido e evita entrar com autovalores complexos se você tiver pouco tempo.]

Resposta

X(t)=\begin{pmatrix} C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)\\[6pt] -\,C_1\sin(2t)+C_2\cos(2t) \end{pmatrix},\quad C_1,C_2\in\mathbb{R}
Trajetórias: círculos x^2+y^2=R^2 com R=\sqrt{C_1^2+C_2^2}; rotação no sentido horário com velocidade angular 2.]

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