Ache a solução geral do sistema de equações dado e desenhe o retrato de fase correspondente:
X^{\prime}=\left[
\right] X
X^{\prime}=\left[
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear a seguir e pede duas coisas: achar a solução geral e desenhar o retrato de fase.
As informações relevantes do enunciado são:
- A matriz de coeficientes é
. - Deve-se obter a solução geral
(com constantes de integração reais) e descrever o retrato de fase (forma das trajetórias, orientação e velocidade angular).]
Passo 2
Transformar o sistema em equações escalares e isolar uma variável para reduzir a ordem.
Escrevendo
A ideia é eliminar
. Diferenciando a primeira equação:
Substituindo
obtemos uma equação de segunda ordem apenas em
:
Passo 3
Resolver a equação de segunda ordem obtida. A equação é
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples com frequência angular
. A solução geral real dessa equação é
onde
e
são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.
Explicando rapidinho por que essa forma: para a equação
as funções
e
são soluções independentes; combinações lineares delas formam a solução geral.
Passo 4
Determinar
a partir de
usando a relação
. Primeiro calcule
:
Dividindo por
(pois
) obtemos
Pronto — temos
e
em termos de
.
Passo 5
Escrever a solução em forma vetorial e comentar sobre as constantes.
A solução geral vetorial fica
A solução geral vetorial fica
com
constantes arbitrárias. Alternativamente, em termos da exponencial matricial, podemos escrever
e como
resulta
Isso confirma que a solução é uma rotação do vetor inicial.]
Passo 6
Mostrar que as trajetórias no plano são círculos e obter a orientação e velocidade angular.
Calcule a quantidade . Usando as expressões de
e
(ou observando que
é ortogonal) tem-se
Calcule a quantidade
que é constante no tempo. Portanto as trajetórias são círculos centrados na origem com raio
.
Para saber a orientação e a velocidade angular, passe para coordenadas polares
. Substituindo no sistema e igualando coeficientes obtém-se
e
. Logo o ângulo
varia linearmente como
. Isso diz duas coisas:
- A velocidade angular é
. - O sinal negativo indica que a rotação é no sentido horário (clockwise).
Passo 7
Resumo físico-intuitivo e dica para a prova.
- A matriz
gera rotações uniformes no plano com velocidade angular . Sempre que a matriz tiver a forma obtém-se oscilações com frequência . - No momento da prova, uma rota prática: derive uma variável para reduzir a ordem (como fizemos) e extraia a outra via relação entre derivadas — é rápido e evita entrar com autovalores complexos se você tiver pouco tempo.]
Resposta
Trajetórias: círculos
com
; rotação no sentido horário com velocidade angular
.]