Ache a solução geral do sistema de equações dado e desenhe o retrato de fase correspondente:
X^{\prime}=\left[
\right] X
X^{\prime}=\left[
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear autónomo e pede a solução geral e o retrato de fase:
Informações fornecidas:
- A matriz do sistema é
. - Deve-se encontrar a solução geral
(família de soluções com constantes arbitrárias). - Deve-se desenhar (ou descrever) o retrato de fase associado ao sistema (comportamento das trajetórias no plano e sentido da rotação).]
Passo 2
Breve aula útil (o que vamos usar e por que): para um sistema linear
com
constante, procuramos autovalores
e autovetores
de
. Se existir um autovalor complexo
com autovetor complexo
(
reais), então a solução complexa
gera duas soluções reais independentes dadas por as partes real e imaginária:
Essas duas dão a solução geral real:
O sinal de
determina estabilidade (se
atraente,
repulsivo). O valor
dá a frequência angular das oscilações; o sentido (horário/anti-horário) pode ser determinado avaliando a variação angular em um ponto.
Passo 3
Calcular os autovalores de
. O polinômio característico é
Expandindo:
Logo os autovalores são raízes de
A discriminante é
portanto os autovalores são complexos conjugados:
Aqui
e
.]
Passo 4
Encontrar um autovetor complexo para
. Resolver
. Temos
Da primeira linha
, logo
Escolhendo
(para evitar frações), obtemos
Escrevendo
com
reais:
Passo 5
Construir as duas soluções reais fundamentais a partir de
. Usando a fórmula da Passo 2:
onde
,
,
,
. Então explicitamente:
Passo 6
Escrever a solução geral real combinando as duas soluções fundamentais. Com constantes reais
,
Substituindo
:
Observação prática para a prova: em
tem-se
e
, logo dadas condições iniciais
resolve-se
para obter
(sistema 2×2 simples).]
Passo 7
Classificação do ponto de equilíbrio e sentido das órbitas (retrato de fase):
- Como as partes reais dos autovalores são
, o ponto de equilíbrio é instável: todas as trajetórias (exceto a trivial) afastam-se do origem exponencialmente em módulo — é uma fonte. - Os autovalores são complexos conjugados (
), logo as trajetórias são espirais. Conclusão: espiral instável (espiral-fonte). - Determinar o sentido de giro (horário ou anti-horário): calcule a taxa de variação do ângulo
. Uma forma prática é avaliar em um ponto simples, por exemplo . Tem-se
A variação angular inicial é proporcional a
, ou seja,
está diminuindo — isso indica rotação no sentido horário. Portanto as trajetórias espiralam para fora no sentido horário quando
cresce.
- Esboço do retrato: no plano
desenhar curvas em espiral saindo da origem, aproximando-se localmente de círculos de raio crescente, com sentido horário; amplitudes crescem como e as oscilações têm frequência .]
Resposta
Retrato de fase: espiral instável (fonte) com crescimento exponencial
e oscilações de frequência
; as trajetórias espiralam para fora no sentido horário.]