Ache a solução geral do sistema de equações dado e desenhe o retrato de fase correspondente:
X^{\prime}=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\ -3 & -2\end{array}\right] X
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já temos:
Pede-se a solução geral do sistema linear homogêneo e o retrato de fase.
O sistema é
X' = A X,\qquad A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-3 & -2\end{pmatrix},
onde X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix}.
O objetivo é encontrar uma base de soluções fundamentais (duas soluções linearmente independentes) e escrever a solução geral como combinação linear delas; em seguida descrever como são as trajetórias no plano (x,y) (o retrato de fase).]
Passo 2
Vamos achar os autovalores de A. Para isso calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Comentário didático rápido: quando os autovalores são complexos conjugados \alpha\pm i\beta esperam-se soluções oscilatórias multiplicadas por fator exponencial e^{\alpha t}. O sinal de \alpha determina se as órbitas crescem (\alpha>0), decaem (\alpha<0) ou são neutrally oscilatórias (\alpha=0).]
Passo 3
Agora encontramos um autovetor complexo associado a \lambda=\alpha+i\beta. Resolvemos (A-\lambda I)v=0. Escrevendo
Didática: um autovetor complexo pode ser escrito como v=p+iq com p,q\in\mathbb{R}^2. A partir de e^{(\alpha+i\beta)t}v extraem-se duas soluções reais independentes: as partes real e imaginária.]
Classificação do ponto de equilíbrio e desenho do retrato de fase (instruções e interpretação):
Como os autovalores são \lambda=\alpha\pm i\beta com \alpha=-\tfrac{1}{2}<0 e \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\neq0, a origem é um foco estável (um espiral assintoticamente estável, também chamado de “stiff sink” ou “stable spiral”).
As trajetórias espiralam em direção à origem com decaimento exponencial e^{\alpha t}=e^{-t/2} e com frequência angular \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Sentido de rotação (orientação): pode verificar-se pegando um ponto inicial simples, por exemplo X(0)=(1,0). Calcula-se X'(0)=A(1,0)^{T}=(1,-3)^{T}, ou seja, a componente y inicial tende a diminuir — isso indica que a órbita passa do eixo x positivo para baixo, portanto a rotação é no sentido horário.
Como não há autovetores reais (autovalores complexos não reais), não há retas invariantes não-triviais; as órbitas são curvas em espiral, todas aproximando-se do ponto de equilíbrio na origem seguindo sentido horário.
Instruções práticas para desenhar o retrato:
Desenhar o plano (x,y) com a origem marcada.
Marcar algumas órbitas iniciais com diferentes condições iniciais; desenhar espirais que se aproximam da origem.
Indicar com setas o sentido horário ao longo das espirais.
Uma seta indicando decaimento exponencial (distância à origem decresce como e^{-t/2}) e oscilações de período T=\dfrac{2\pi}{\beta}=\dfrac{4\pi}{\sqrt{3}} podem ser anotadas.
Resposta
X(t)=C_1\,e^{-\tfrac{1}{2}t}\begin{pmatrix}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)\\[6pt]-\dfrac{3}{2}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)\end{pmatrix}
+ C_2\,e^{-\tfrac{1}{2}t}\begin{pmatrix}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)\\[6pt]-\dfrac{3}{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)\end{pmatrix},\; C_1,C_2\in\mathbb{R}.
A origem é um foco estável (espiral assintoticamente estável); as trajetórias espiralam no sentido horário em direção à origem.]