O que se quer: a solução geral x(t) do sistema (ou seja, soma da solução geral do homogêneo e de uma particular).
Passo 2
Encontrar a solução do sistema homogêneo associado (ou seja, achar autovalores e autovetores de A)—isso nos dá a base de soluções para a parte homogênea. Vou calcular o polinômio característico de A:
Da primeira equação 2x_1-3x_2=0\Rightarrow x_1=\tfrac{3}{2}x_2. Tomando x_2=2 obtemos x_1=3. Um autovetor associado é
v_2=\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix}.
Passo 4
Formo a solução geral do homogêneo usando os autovalores/autovetores: cada autovetor gera uma solução exponencial e^{\lambda t}v. Assim a solução geral do homogêneo é
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias. Explicando rapidinho: qualquer combinação linear dessas duas soluções é solução do homogêneo porque o sistema é linear e essas duas soluções são linearmente independentes (autovetores associados a autovalores distintos).
Passo 5
Agora vamos achar uma solução particular x_p(t) do sistema completo usando o método da variação dos parâmetros. Ideia: permitir que as constantes C_1,C_2 virem funções a(t),b(t) e impor uma condição conveniente para simplificar as equações. Fazemos a ansatz
então os termos remanescentes ao comparar x_p' com Ax_p+g se cancelam, deixando uma equação simples para a' e b'. Essa é a maneira padrão de variação dos parâmetros para sistemas.
Passo 6
Escrevo explicitamente a condição para a'\) e \(b'\):
\[e^{4t}a'(t)\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}+e^{-t}b'(t)\begin{pmatrix}3\\\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{-2t}\\\ 0\end{pmatrix}.
Integro a'(t) e b'(t) para obter a(t) e b(t). Como estamos construindo uma solução particular, podemos escolher as constantes de integração zero (qualquer constante adicionada aqui é absorvida pela solução homogênea).