Encontrar a solução geral x(t) do sistema, ou seja, a solução homogênea (via autovalores e autovetores) mais uma solução particular (via variação dos parâmetros).]
Passo 2
Vou primeiro resolver o sistema homogêneo associado
x' = A x.
A técnica padrão é encontrar os autovalores \lambda de A resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Explicação curta (didática): os autovalores são os números \lambda tais que existe um vetor não nulo v com Av=\lambda v. Eles determinam as exponenciais e^{\lambda t} que aparecem nas soluções do sistema homogêneo.]
Passo 3
Agora encontro autovetores associados a cada autovalor, ou seja vetores v\neq 0 tais que (A-\lambda I)v=0.
Resolvo 6 v_1 + 3 v_2 = 0 que simplifica para 2 v_1 + v_2 = 0, então v_2=-2 v_1. Tomo v_1=1, obtendo
v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Comentário didático: cada autovetor gera uma solução da forma e^{\lambda t} v do sistema homogêneo. Como temos dois autovalores distintos, as duas soluções obtidas são linearmente independentes e formam uma base de soluções.]
Passo 4
Escrevo a solução geral do sistema homogêneo x'=Ax como combinação linear das soluções geradas pelos autovalores/autovetores:
Escolho as funções u_1,u_2 de modo que x_p resolva x'=Ax+b. Para sistemas lineares, uma forma compacta é escrever a matriz fundamental X(t) cujas colunas são as soluções fundamentais e então resolver X(t) u'(t)=b, onde u(t)=\begin{pmatrix}u_1(t)\\[4pt]u_2(t)\end{pmatrix}. Ou seja
u'(t)=X(t)^{-1} b.
Construo a matriz fundamental X(t) cujas colunas são as soluções fundamentais:
Integro para obter u_1(t),u_2(t). Como estou procurando uma solução particular, basta tomar constantes de integração iguais a zero (essas constantes se absorverão na solução homogênea):
Integro u_1':
u_1(t)=\int e^{-5t}\,dt=-\frac{1}{5}e^{-5t}.
E u_2'(t)=0 implica
u_2(t)=\text{const.}
Escolho essa constante como 0 para obter uma solução particular simples:
u_2(t)=0.
Agora construo x_p(t)=X(t)u(t). Como u_2(t)=0, apenas a primeira coluna contribui: