Ache a solução geral do sistema
x^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right) x+\binom{t}{t}
utilizando autovalores, autovetores e o método de variação dos parâmetros.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema não-homogêneo
x' = A x + g(t)
onde
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix},\qquad g(t)=\binom{t}{t}.
Informações importantes dadas:
\text{queremos a solução geral }x(t)=x_h(t)+x_p(t),çã
onde x_h é a solução do sistema homogêneo x'=Ax e x_p é uma particular de x'=Ax+g(t). O enunciado pede uso de autovalores/autovetores e do método de variação dos parâmetros (variação das constantes).]

Passo 2

Resolver o homogêneo x'=Ax encontrando autovalores e autovetores.
Calculo do polinômio característico:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt]-1 & -\lambda\end{pmatrix}=\lambda^2+1.
As raízes são
\lambda=\pm i.
Para \lambda=i um autovetor v satisfaz (A-iI)v=0. Escolhendo v=\binom{1}{i} (verificação direta mostra que funciona), obtemos uma solução complexa
x^{(1)}(t)=e^{it}\binom{1}{i}.
As partes real e imaginária de x^{(1)}(t) geram duas soluções reais linearmente independentes. Calculemos e^{it}\binom{1}{i}:
e^{it}\binom{1}{i}=\binom{e^{it}}{i e^{it}}=\binom{\cos t + i\sin t}{-\,\sin t + i\cos t}.
Assim as colunas formadas por partes real e imaginária são
\text{Re: }\binom{\cos t}{-\,\sin t},\qquad \text{Im: }\binom{\sin t}{\cos t}.
Portanto um fundamental matricial X(t) (matriz cujas colunas são duas soluções fundamentais) pode ser escolhido como
X(t)=\begin{pmatrix}\cos t & \sin t\\[4pt]-\sin t & \cos t\end{pmatrix}.
Verificação rápida: \det X(t)=\cos^2 t+\sin^2 t=1, logo X(t) é invertível para todo t.]

Passo 3

Apresentar a fórmula de variação das constantes (variação dos parâmetros) para sistemas lineares: se X(t) é um fundamental matricial de x'=Ax, então uma solução particular de x'=Ax+g(t) é
x_p(t)=X(t)\int_{t_0}^{t} X(s)^{-1} g(s)\,ds,
onde t_0 é um ponto fixo (podemos escolher t_0=0). A solução geral fica
x(t)=X(t)C + x_p(t),
com C\in\mathbb{R}^2 constante.
Aqui g(t)=\binom{t}{t} e X(t) foi dada acima. Vamos aplicar essa fórmula com t_0=0.

Passo 4

Calcular X(t)^{-1}. Como X(t) é rotação, sua inversa é a transposta no caso de rotação, mas vamos escrever explicitamente:
X(t)^{-1}=\begin{pmatrix}\cos t & -\sin t\\[4pt]\sin t & \cos t\end{pmatrix}.
Agora calculemos o produto X(t)^{-1}g(t):
X(t)^{-1}g(t)=\begin{pmatrix}\cos t & -\sin t\\[4pt]\sin t & \cos t\end{pmatrix}\binom{t}{t} =t\binom{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t}.]

Passo 5

Precisamos integrar o vetor acima de 0 até t:
\int_{0}^{t} X(s)^{-1}g(s)\,ds =\int_{0}^{t} s\binom{\cos s-\sin s}{\sin s+\cos s}\,ds =\binom{J_1(t)}{J_2(t)},
onde
J_1(t)=\int_{0}^{t} s(\cos s-\sin s)\,ds,\qquad J_2(t)=\int_{0}^{t} s(\sin s+\cos s)\,ds.
Calculemos J_1 e J_2 usando integrais por partes. Primeiro calcule integrais indefinidas auxiliares:
\int s\cos s\,ds = s\sin s+\cos s + C,
\int s\sin s\,ds = -s\cos s+\sin s + C.
Agora
\int s(\cos s-\sin s)\,ds =(s\sin s+\cos s)-(-s\cos s+\sin s) = s(\sin s+\cos s)+(\cos s-\sin s)+C.
E
\int s(\sin s+\cos s)\,ds =(-s\cos s+\sin s)+(s\sin s+\cos s) = s(\sin s-\cos s)+(\sin s+\cos s)+C.
Agora avaliando de 0 a t. Para s=0 as expressões indefinidas valem 1 (pois \cos 0=1,\sin 0=0), então subtraímos esse valor inicial. Assim
J_1(t)=t(\sin t+\cos t)+(\cos t-\sin t)-1,
J_2(t)=t(\sin t-\cos t)+(\sin t+\cos t)-1.

Passo 6

Agora montamos x_p(t)=X(t)\binom{J_1(t)}{J_2(t)}. Multiplicando:
x_p(t)=\begin{pmatrix}\cos t & \sin t\\[4pt]-\sin t & \cos t\end{pmatrix} \binom{J_1(t)}{J_2(t)}.
Calculemos componente a componente. Para a primeira componente:
x_{p1}(t)=\cos t\,J_1(t)+\sin t\,J_2(t).
Substituindo J_1,J_2 e agrupando termos (faça as contas passo a passo):
os termos proporcionais a t somam
t\big(\cos t(\sin t+\cos t)+\sin t(\sin t-\cos t)\big)=t(\cos^2 t+\sin^2 t)=t.
Os termos restantes somam 1-(\cos t+\sin t). Logo
x_{p1}(t)=t+1-(\cos t+\sin t).
Para a segunda componente:
x_{p2}(t)=-\sin t\,J_1(t)+\cos t\,J_2(t).
Novamente os termos proporcionais a t dão -t e os termos constantes dão 1+(\sin t-\cos t). Assim
x_{p2}(t)=-t+1+(\sin t-\cos t).
Portanto
x_p(t)=\binom{t+1-(\cos t+\sin t)}{-t+1+(\sin t-\cos t)}.]

Passo 7

Escrever a solução geral: a parte homogênea é X(t)C com C=\binom{C_1}{C_2}\in\mathbb{R}^2. Logo a solução geral fica
x(t)=X(t)\binom{C_1}{C_2}+x_p(t) =\begin{pmatrix}\cos t & \sin t\\[4pt]-\sin t & \cos t\end{pmatrix}\binom{C_1}{C_2} +\binom{t+1-(\cos t+\sin t)}{-t+1+(\sin t-\cos t)}.
Se quiser expandir em componentes:
x_1(t)=C_1\cos t + C_2\sin t + t+1-(\cos t+\sin t),
x_2(t)=-C_1\sin t + C_2\cos t -t+1+(\sin t-\cos t).]

Resposta

x(t)=\begin{pmatrix}\cos t & \sin t\\[4pt]-\sin t & \cos t\end{pmatrix}\binom{C_1}{C_2} +\binom{t+1-(\cos t+\sin t)}{-t+1+(\sin t-\cos t)},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.]

Exercícios relacionados