\text{queremos a solução geral }x(t)=x_h(t)+x_p(t),çã
onde x_h é a solução do sistema homogêneo x'=Ax e x_p é uma particular de x'=Ax+g(t). O enunciado pede uso de autovalores/autovetores e do método de variação dos parâmetros (variação das constantes).]
Passo 2
Resolver o homogêneo x'=Ax encontrando autovalores e autovetores.
Portanto um fundamental matricial X(t) (matriz cujas colunas são duas soluções fundamentais) pode ser escolhido como
X(t)=\begin{pmatrix}\cos t & \sin t\\[4pt]-\sin t & \cos t\end{pmatrix}.
Verificação rápida: \det X(t)=\cos^2 t+\sin^2 t=1, logo X(t) é invertível para todo t.]
Passo 3
Apresentar a fórmula de variação das constantes (variação dos parâmetros) para sistemas lineares: se X(t) é um fundamental matricial de x'=Ax, então uma solução particular de x'=Ax+g(t) é
x_p(t)=X(t)\int_{t_0}^{t} X(s)^{-1} g(s)\,ds,
onde t_0 é um ponto fixo (podemos escolher t_0=0). A solução geral fica
x(t)=X(t)C + x_p(t),
com C\in\mathbb{R}^2 constante.
Aqui g(t)=\binom{t}{t} e X(t) foi dada acima. Vamos aplicar essa fórmula com t_0=0.
Passo 4
Calcular X(t)^{-1}. Como X(t) é rotação, sua inversa é a transposta no caso de rotação, mas vamos escrever explicitamente:
X(t)^{-1}=\begin{pmatrix}\cos t & -\sin t\\[4pt]\sin t & \cos t\end{pmatrix}.
Agora calculemos o produto X(t)^{-1}g(t):
X(t)^{-1}g(t)=\begin{pmatrix}\cos t & -\sin t\\[4pt]\sin t & \cos t\end{pmatrix}\binom{t}{t} =t\binom{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t}.]