(i) Esboce a extensão ímpar e periódica de período 8 da função
f(x)= \begin{cases}1, & 0<x \leq 2 \\\\ 0, & 2<x \leq 4\end{cases}
(ii) Calcule a série de Fourier desta função em termos de senos.
(iii) Resolve a equação do calor com condições de contorno nulas em x=0 e x=4, e condicao inicial f(x), explicando o Método de Separação de Variáveis.

Passo 1

O enunciado pede três coisas distintas: (i) fazer o esboço da extensão ímpar e periódica de período 8 da função f\) dada; (ii) calcular a série de Fourier dessa função em termos de senos; (iii) resolver a equação do calor com condições de contorno nulas em \(x=0\) e \(x=4\) e condição inicial \(f(x)\), explicando o Método de Separação de Variáveis. Informações fornecidas pelo enunciado que vamos usar: a função original está definida em \(0<x\leq 4\) por \[f(x)= \begin{cases}1, & 0<x \leq 2,\\[4pt] 0, & 2<x \leq 4,\end{cases}
e a extensão solicitada é a extensão ímpar com período 8\] (ou seja, extensão ímpar em \([-4,4] e então periódica com período 8). Não há outras condições numéricas ocultas; podemos assumir que o problema físico da equação do calor pode ter uma difusividade \kappa>0 (vou manter \kappa simbólico; tomar \kappa=1 é um caso especial).]

Passo 2

Entendimento do que significa “extensão ímpar e periódica de período 8”. Vou explicar devagarinho:
  • "Período 8" significa que, para todo x, a extensão F(x) que queremos satisfaz F(x+8)=F(x). Então basta definir F em um intervalo de comprimento 8, por exemplo em [-4,4], e periodicamente copiar.
  • “Ímpar” significa F(-x)=-F(x). Se impomos que a extensão em [-4,4] seja ímpar, então F(0)=0 e os valores em (0,4] determinam os de [-4,0) por antissimetria.
    Assim, para construir a extensão: primeiro colocamos F(x)=f(x) em (0,4] conforme dado; impondo que F seja ímpar, teremos F(x)=-f(-x) para x\in[-4,0); por fim repetimos periodicamente com período 8. Vou agora descrever explicitamente quais são os pedaços com valor 1, -1 e 0.

Passo 3

Descrever explicitamente a extensão ímpar periódica (esboço em palavras e fórmula por trechos). Como o original tem f(x)=1 em (0,2] e f(x)=0 em (2,4], a extensão ímpar periódica F(x) com período 8 fica assim (vou dar a descrição em termos de classes de intervalos por translações de período 8):
Para todo inteiro k:
  • em (8k,\,8k+2] temos F(x)=1 (cópia do trecho (0,2]);
  • em (8k+2,\,8k+4] temos F(x)=0 (cópia do trecho (2,4]);
  • em (8k-4,\,8k-2] (que é simétrico negativo de (8k+2,8k+4]) temos F(x)=0 também;
  • em (8k-2,\,8k] (que corresponde ao reflexo negativo de (0,2]) temos F(x)=-1.
Em palavras mais simples: subindo ao longo do eixo numérico, em cada período de comprimento 8 aparece um pulso de altura +1 em comprimento 2 (de 8k a 8k+2), depois zero de 8k+2 a 8k+4; do lado negativo simétrico aparece um pulso de altura -1 de comprimento 2 e zeros nos outros trechos, e isso se repete periodicamente. Isso é o esboço pedido.

Passo 4

Agora vamos à série de Fourier em termos de senos. Explico a ideia: como construímos a extensão ímpar com período 8, essa função estendida é uma função ímpar num intervalo centrado em zero de semilargura L=4 e tem período 2L=8. A série de Fourier de uma função ímpar de período 2L contém apenas termos senoidais (senos), com modos \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big). Portanto procuramos uma expansão do tipo
F(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg),
onde aqui L=4, logo os modos são \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{4}\big). Agora vou deduzir a fórmula dos coeficientes B_n usando a ortogonalidade dos senos.

Passo 5

Rápida lição sobre ortogonalidade (essencial para obter os coeficientes): para inteiros positivos n,m\) e \(L>0\) vale \[\int_{0}^{L}\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\sin\!\bigg(\frac{m\pi x}{L}\bigg)\,dx= \begin{cases} 0, & n\neq m,\\[4pt] \dfrac{L}{2}, & n=m. \end{cases}
Isto é conseguido integrando trigonometria e usando identidades; o que nos diz é que as funções \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big)\] formam um conjunto ortogonal em \([0,L]. Quando expandimos uma função f definida em (0,L) numa série de senos, os coeficientes são obtidos projetando f sobre cada seno e dividindo pela norma da base: isto dá a fórmula
B_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx.
Expliquei por que aparece o fator \dfrac{2}{L}: é exatamente \dfrac{1}{\text{norma}} com a norma \int_0^L \sin^2(\cdot)=L/2.]

Passo 6

Aplicando ao nosso caso com L=4: temos
B_n=\frac{2}{4}\int_{0}^{4} f(x)\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{4}\bigg)\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{4} f(x)\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{4}\bigg)\,dx.
Lembrando que f(x)=1 para 0<x\le 2 e f(x)=0 para 2<x\le 4, a integral reduz-se a
\int_{0}^{4} f(x)\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{4}\bigg)\,dx=\int_{0}^{2} 1\cdot \sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{4}\bigg)\,dx.

Passo 7

Calcule a integral explicitamente. Use a primitiva de \sin(ax): \int \sin(ax)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax). Com a=\dfrac{n\pi}{4} obtemos
\int_{0}^{2}\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{4}\bigg)\,dx = \left[-\frac{1}{a}\cos(ax)\right]_{0}^{2} = -\frac{1}{a}\cos(2a)+\frac{1}{a}\cos(0) = \frac{1}{a}\bigl(1-\cos(2a)\bigr).
Substituindo a=\dfrac{n\pi}{4} e 2a=\dfrac{n\pi}{2} temos
\int_{0}^{2}\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{4}\bigg)\,dx = \frac{4}{n\pi}\Bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr).

Passo 8

Voltando ao B_n, lembrando do fator 1/2 do Passo 6:
B_n=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{n\pi}\Bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr) =\frac{2}{n\pi}\Bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr).
Essa é uma forma compacta e correta. Podemos também simplificar dependendo da classe de n módulo 4, usando que \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) toma valores periódicos 1,0,-1,0,\dots.

Passo 9

Escrevo a forma explícita por classes de n (útil para ver quais modos aparecem):
  • Se n\equiv 0\pmod{4} então \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=1, logo B_n=0.
  • Se n\equiv 1\pmod{4} então \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=0, logo B_n=\dfrac{2}{n\pi}.
  • Se n\equiv 2\pmod{4} então \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=-1, logo B_n=\dfrac{4}{n\pi}.
  • Se n\equiv 3\pmod{4} então \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=0, logo B_n=\dfrac{2}{n\pi}.
Portanto os coeficientes têm um padrão de zeros quando n é múltiplo de 4 e valores alternados nas outras classes.

Passo 10

Escrevo a série de Fourier (série de senos) final para a extensão ímpar periódica (ou equivalentemente a série de senos de f em (0,4)):
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{4}\bigg), \qquad\text{com}\qquad B_n=\frac{2}{n\pi}\Bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr).
Isto responde a parte (ii). Em práticas de prova, você pode deixar a fórmula B_n=\dfrac{2}{n\pi}(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})) como resposta compacta, ou apresentar a forma por classes de n como no passo anterior.

Passo 11

Agora parto para a equação do calor (parte (iii)) e explico o Método de Separação de Variáveis passo a passo. Considere a equação do calor padrão com difusividade \kappa>0:
\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa\,\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}},\qquad 0<x<4,\; t>0,
com condições de contorno nulas
u(0,t)=0,\qquad u(4,t)=0\quad\text{para }t\ge 0,
e condição inicial
u(x,0)=f(x)\quad\text{para }0<x<4.
O Método de Separação de Variáveis assume soluções na forma produto de duas funções, uma só de x e outra só de t:
u(x,t)=X(x)\,T(t).

Passo 12

Substitui u(x,t)=X(x)T(t) na equação:
X(x)\,T'(t)=\kappa\,X''(x)\,T(t).
Dividindo por \kappa X(x)T(t) (assumindo X,T\neq 0) obtemos
\frac{T'(t)}{\kappa T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}.
O lado esquerdo depende só de t e o direito só de x; a única forma de isso ser verdadeiro para todos x,t é que ambos lados sejam iguais a uma constante, que normalmente escrevemos como -\lambda. Assim
\frac{T'(t)}{\kappa T(t)}=-\lambda, \qquad \frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda.
Isto nos dá dois problemas ordinários:
X''+\lambda X=0,\qquad T'+\kappa\lambda T=0.

Passo 13

Imponha as condições de contorno em X: como u(0,t)=0 para todo t, temos X(0)T(t)=0 e como T não é a função zero trivial, segue X(0)=0. De modo análogo X(4)=0. Portanto X satisfaz o problema de autovalores
X''+\lambda X=0,\qquad X(0)=0,\; X(4)=0.
Procuramos \lambda que admitam soluções não-triviais.

Passo 14

Resolva o problema de autovalores. Possíveis casos:
  • Se \lambda<0 escrevemos \lambda=-\mu^2 e as soluções são exponenciais que não conseguem satisfazer zeros em ambas as extremidades sem serem triviais — descartadas.
  • Se \lambda=0 então X''=0 e X é linear; com X(0)=X(4)=0 isso força X\equiv 0 — trivial.
  • Se \lambda>0 escrevemos \lambda=\omega^2. Então X(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x). A condição X(0)=0 força A=0, então X(x)=B\sin(\omega x). A condição X(4)=0 implica B\sin(4\omega)=0. Para B\neq 0 precisamos \sin(4\omega)=0, i.e. 4\omega = n\pi para inteiro n. Assim
\omega=\frac{n\pi}{4},\qquad \lambda_n=\omega^2=\bigg(\frac{n\pi}{4}\bigg)^{\!2},\qquad n=1,2,3,\dots
Os autovetores correspondentes (módulo constante multiplicativa) são
X_n(x)=\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{4}\bigg).

Passo 15

Agora resolvemos a equação temporal para cada modo: T'+\kappa\lambda_n T=0 tem solução exponencial
T_n(t)=\exp\!\big(-\kappa\lambda_n t\big) =\exp\!\Big(-\kappa\bigg(\frac{n\pi}{4}\bigg)^{\!2} t\Big).
Portanto cada modo separado dá uma solução modal
u_n(x,t)=\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{4}\bigg)\exp\!\Big(-\kappa\bigg(\frac{n\pi}{4}\bigg)^{\!2} t\Big).

Passo 16

Pela linearidade da equação, a soma infinita das soluções modais também é solução. Então a solução geral (para condições homogêneas nas extremidades) é uma série
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{4}\bigg)\exp\!\Big(-\kappa\bigg(\frac{n\pi}{4}\bigg)^{\!2} t\Big),
onde os coeficientes c_n são determinados impondo a condição inicial u(x,0)=f(x). Isso dá
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{4}\bigg).
Comparando com a série de senos que já obtivemos na parte (ii), concluímos c_n=B_n.

Passo 17

Portanto os coeficientes c_n são exatamente os B_n calculados antes:
c_n=\frac{2}{n\pi}\Bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr).
Logo a solução explícita da equação do calor é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\Bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr) \sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{4}\bigg) \exp\!\Big(-\kappa\bigg(\frac{n\pi}{4}\bigg)^{\!2} t\Big).
Se desejar o caso com difusividade \kappa=1, basta substituir \kappa=1.

Passo 18

Comentário final breve e incentivo: a ideia chave que você deve lembrar para a prova é (1) fazer a extensão ímpar se pedirem série de senos; (2) usar ortogonalidade para obter B_n=\dfrac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin(\tfrac{n\pi x}{L})\,dx; (3) no PDE, separar X(x) e T(t), resolver o problema de autovalores para X com as BC e combinar com exponenciais decaindo no tempo. Você já tem a fórmula fechada para os coeficientes e a solução do calor — com isso você consegue reproduzir o raciocínio na prova. Força que dá para fazer!

Resposta

(i) Extensão ímpar periódica de período 8: em cada período 8k\le x\le 8k+8 temos F(x)=1 em (8k,8k+2], F(x)=0 em (8k+2,8k+4], F(x)=-1 em (8k+6,8k+8] (ou usando simetria, em (8k-2,8k]) e zeros nos trechos restantes, repetido periodicamente com F(-x)=-F(x).
(ii) Série de Fourier em senos:
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{4}\bigg), \qquad B_n=\frac{2}{n\pi}\Bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr).
(iii) Solução da equação do calor ( u_t=\kappa u_{xx}) com u(0,t)=u(4,t)=0 e u(x,0)=f(x):
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\Bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr) \sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{4}\bigg) \exp\!\Big(-\kappa\bigg(\frac{n\pi}{4}\bigg)^{\!2} t\Big).

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