Ache a solução geral do sistema
x^prime=[cc 2 & 4 -1 & 6 ] x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que o exercício propôs. A gente vai trabalhar com sistemas lineares de equações diferenciais, onde temos uma matriz que multiplica o vetor de incógnitas. Pra resolver, vamos precisar encontrar os valores próprios (ou eigenvalores) e os vetores próprios (eigenvetores) da matriz dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
A = 2 & 4 -1 & 6
A solução geral de um sistema linear como esse envolve encontrar os valores próprios lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a equação característica:
det( 2 - lambda & 4 -1 & 6 - lambda ) = 0
Calculando o determinante:
(2 - lambda)(6 - lambda) - (-1)(4) = 0

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar:
(2 - lambda)(6 - lambda) + 4 = 0
12 - 2lambda - 6lambda + lambda^2 + 4 = 0
lambda^2 - 8lambda + 16 = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática:
lambda^2 - 8lambda + 16 = 0
Calculando o discriminante:
De
Como De, temos uma raiz dupla:
lambda = 82 = 4
Então, temos um único valor próprio lambda = 4 de multiplicidade 2.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o vetor próprio associado a lambda = 4. Resolvemos (A - 4I)v = 0:

$$
2 - 4 & 4 -1 & 6 - 4 v1 v2 = -2 & 4 -1 & 2 v1 v2 = 0 0
-2v1 + 4v2 = 0 -1v1 + 2v2 = 0

v1
-2v1 + 4v2 = 0 Rightarrow v1 = 2v2

v2 = 1
$$
Isso nos dá as equações:
v1 = 2
As duas equações são equivalentes. Vamos resolver para v = 2 1 :
Podemos escolher , então . O vetor próprio é:

Passo 7

Como temos um valor próprio de multiplicidade 2, precisamos encontrar uma solução geral que inclui um termo com te^lambda t. A solução geral será:
x(t) = (C1 v) e^lambda t + (C2 (v t) + C2 w) e^lambda t
Onde C1 e C2 são constantes, e w é um vetor generalizado. Mas, para simplificar, usamos a seguinte forma quando há multiplicidade:
x(t) = (C1 + C2 t) e^4t 2 1

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t) = (C1 + C2 t) e^4t 2 1 ,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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