Ache a solução geral do sistema
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que o exercício propôs. A gente vai trabalhar com sistemas lineares de equações diferenciais, onde temos uma matriz que multiplica o vetor de incógnitas. Pra resolver, vamos precisar encontrar os valores próprios (ou eigenvalores) e os vetores próprios (eigenvetores) da matriz dada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
A solução geral de um sistema linear como esse envolve encontrar os valores próprios
que satisfazem a equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a equação característica:
Calculando o determinante:
Passo 4
Agora, vamos expandir e simplificar:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Como
, temos uma raiz dupla:
Então, temos um único valor próprio
de multiplicidade 2.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o vetor próprio associado a
. Resolvemos
:
$$
$$
Isso nos dá as equações:
As duas equações são equivalentes. Vamos resolver para
:
Podemos escolher
, então
. O vetor próprio é:
Passo 7
Como temos um valor próprio de multiplicidade 2, precisamos encontrar uma solução geral que inclui um termo com
. A solução geral será:
Onde
e
são constantes, e
é um vetor generalizado. Mas, para simplificar, usamos a seguinte forma quando há multiplicidade:
Resposta
A solução geral do sistema é
onde
e
são constantes arbitrárias.