Ache a solução geral dos sistemas abaixo:
, com
, com
Passo 1
O enunciado pede: “Ache a solução geral do sistema”
com
. Informações dadas e incógnitas relevantes:
- As funções desconhecidas são
e . - O parâmetro
é uma constante real diferente de zero. - Precisamos encontrar a expressão geral de
válida para todos os . - Não há condições iniciais; portanto queremos a solução geral com constantes arbitrárias.]
Passo 2
Vou escrever o sistema na forma matricial compacta. Definimos o vetor
e a matriz de coeficientes
O sistema fica
Estratégia (explicando a ideia): para um sistema linear com matriz constante
buscamos soluções do tipo
, onde
é um escalar (autovalor) e
é um vetor não nulo (autovetor) que satisfaz
Os
possíveis são raízes do polinômio característico
. Dependendo se as raízes são reais distintas, complexas conjugadas ou iguais, a forma da solução geral muda. Aqui
, então vamos calcular as raízes e tratar os casos.]
Passo 3
Calculamos o polinômio característico:
Igualando a zero:
Daqui temos
ou seja
Para ficar com notação padrão, escrevemos os dois autovalores como
Observação sobre
: se
então
é real; se
então
é imaginário puro (escrevemos
para a unidade imaginária). Por isso há dois casos distintos a tratar.]
Passo 4
Agora suponha
, de modo que
é real e não nulo. Para cada autovalor
achamos um autovetor
resolvendo
.
Para
:
Resolver
leva à equação (usando a primeira linha)
Podemos escolher
como autovetor associado a
.
Para
:
e da primeira linha temos
Um autovetor correspondente é
.
Como os autovalores são distintos, os vetores
e
são linearmente independentes e formam uma base de soluções fundamentais. Portanto a solução geral (para
) é
onde
são constantes reais arbitrárias. Isso resolve o caso
.]
Passo 5
Agora suponha
. Defina
para simplificar a escrita. Então
e os autovalores são
Tomamos o autovalor
e achamos um autovetor complexo. Resolva
:
Da primeira linha vem
, então podemos escolher
.
Uma solução complexa do sistema é
Para obter a solução real geral, usamos as partes real e imaginária dessa solução complexa, porque o sistema é com coeficientes reais. Vamos escrever
Multiplicando:
A parte real é
e a parte imaginária é
Essas duas vetores são soluções reais linearmente independentes, portanto a solução geral real (para
) é
onde
e
são constantes reais arbitrárias.]
Passo 6
Pequena observação final: o caso
foi excluído no enunciado; se fosse
a matriz teria autovalor duplo
e seria necessário verificar se há duas soluções independentes (no caso
a matriz é triangular com repetido 1 e a solução teria forma diferente). Mas como
já cobrimos todos os cenários:
(autovalores reais distintos) e
(autovalores complexos conjugados).
Resposta
Para
:
Para
, com
: