Informações relevantes dadas: cada item é um sistema linear homogêneo de primeira ordem com coeficientes constantes. Em cada caso pede-se a solução geral (com constantes arbitrárias).]
Passo 2
Vou usar o método padrão para sistemas lineares X' = A X com matriz constante A: encontrar os autovalores \lambda de A resolvendo a equação característica \det(A-\lambda I)=0, depois encontrar autovetores e, se necessário, vetores generalizados. Explico rapidamente as idéias básicas:
A definição de autovalor/autovetor: \lambda é autovalor de A se existir vetor não nulo v tal que Av=\lambda v.
A equação característica é \det(A-\lambda I)=0. Resolvendo-a obtemos os \lambda.
Se A tem dois autovetores independentes v_1,v_2 com autovalores (podem ser complexos) \lambda_1,\lambda_2, então soluções independentes são e^{\lambda_1 t}v_1 e e^{\lambda_2 t}v_2. A combinação linear dá a solução geral.
Se os autovalores são complexos conjugados \alpha\pm i\beta com autovetor complexo v, então as partes real e imaginária de e^{(\alpha+i\beta)t}v fornecem duas soluções reais independentes. Na prática, escrevemos essas soluções em termos de e^{\alpha t}\cos(\beta t) e e^{\alpha t}\sin(\beta t).
Se há autovalor real \lambda de multiplicidade 2 mas apenas um autovetor v (matriz não diagonalizável), buscamos um vetor generalizado w tal que (A-\lambda I)w=v. As soluções independentes são e^{\lambda t}v e e^{\lambda t}(t v + w).
Agora aplico passo a passo para cada item, mostrando como calcular e montar a solução real.
Passo 3
Escrevo o sistema na forma matricial X' = A X com X=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix} e
Da primeira linha -2i v_1-4 v_2=0 segue v_1=2i v_2. Tomando v_2=1 obtenho o autovetor complexo
v=\begin{pmatrix}2i\\[4pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 5
A solução complexa associada é X(t)=e^{(-1+2i)t}v. Escrevo e^{(-1+2i)t}=e^{-t}(\cos 2t + i\sin 2t) e multiplico pelo vetor v. Faço as multiplicações com calma:
Portanto \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Tomando \lambda=\alpha+i\beta, procedemos como antes: encontramos um autovetor complexo (pode-se fazer igual aos itens anteriores) e extraímos as partes real e imaginária de e^{(\alpha+i\beta)t}v. Seguindo o cálculo (omito passos aritméticos muito semelhantes aos anteriores), obtemos duas soluções reais independentes
porém para ficar mais simples e direta para a prova eu uso a forma padrão: a solução geral real pode ser escrita como combinação linear de duas soluções
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}. (Esta forma foi obtida diretamente pela decomposição em partes real e imaginária do autovetor; ambas as maneiras equivalem entre si.)]
A primeira linha dá 3w_1+3w_2=1\Rightarrow w_1+w_2=\tfrac{1}{3}. Posso escolher, por exemplo, w_2=0 e então w_1=\tfrac{1}{3}. Assim um vetor que funciona é
portanto \lambda=\pm 2i. São autovalores puramente imaginários, indicativo de oscilação senoidal com frequência 2.]
Passo 14
Para este tipo de matriz (estrutura de rotação/oscilação) é mais direto escrever a solução em termos das funções \cos e \sin. Uma base de soluções reais é
multiplicadas por 1 (sem fator exponencial real porque a parte real do autovalor é 0). Verifico rapidamente: diferenciando X_{1} dá X_{1}'=( -2\sin 2t,\\\ -2\cos 2t)^{T}=A X_{1} e análogo para X_{2}. Logo a solução geral é