Ache a solução geral dos sistemas de equações dados abaixo
\left{ \begin{array}{l}x_{1}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+2 \\ x_{2}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+2 t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear não homogêneo
\begin{cases} x_{1}'(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+2,\\\ x_{2}'(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+2t, \end{cases}
onde o vetor incógnita é (x_{1}(t),x_{2}(t))^{T}. O objetivo é encontrar a solução geral usando decoplamento via autovalores e variáveis adequadas, além de resolver uma equação de 1º ordem.

Passo 2

O coeficiente do sistema é a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Seus autovalores são \lambda_{1}=2 (autovetor (1,1)^{T}) e \lambda_{2}=0 (autovetor (1,-1)^{T}). Para decoplar, definimos
u(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t), \quad v(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t),
pois essas combinações correspondem às direções dos autovetores.

Passo 3

Derivando u e v e usando o sistema, obtemos
u'=x_{1}'+x_{2}'=(x_{1}+x_{2}+2)+(x_{1}+x_{2}+2t)=2\,u+2t+2,
v'=x_{1}'-x_{2}'=(x_{1}+x_{2}+2)-(x_{1}+x_{2}+2t)=2-2t.
Assim temos dois ODEs decoplados:
u'-2u=2t+2, \quad v'=2-2t.

Passo 4

Para v'=2-2t, basta integrar:
v(t)=\int(2-2t)\,dt=-t^{2}+2t+C_{2},
onde C_{2} é constante de integração.

Passo 5

Para u'-2u=2t+2, usamos fator integrante \mu(t)=e^{-2t}. Então
\bigl(u\,e^{-2t}\bigr)'=e^{-2t}(2t+2).
Integramos:
\int e^{-2t}(2t+2)\,dt =-t e^{-2t}-\tfrac32e^{-2t}+C_{1},
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u\,e^{-2t}=-t e^{-2t}-\tfrac32e^{-2t}+C_{1},
u(t)=C_{1}e^{2t}-t-\tfrac32.

Passo 6

Voltando às variáveis originais,
x_{1}=\frac{u+v}{2}, \quad x_{2}=\frac{u-v}{2}.
Substituindo u(t) e v(t) e simplificando, obtemos
x_{1}(t) =\frac{C_{1}e^{2t}-t-\tfrac32 \;+\;\bigl(-t^{2}+2t+C_{2}\bigr)}{2} =C_{1}e^{2t}+C_{2} -\tfrac12t^{2}+\tfrac12t-\tfrac34,
x_{2}(t) =\frac{C_{1}e^{2t}-t-\tfrac32 \;-\;\bigl(-t^{2}+2t+C_{2}\bigr)}{2} =C_{1}e^{2t}-C_{2} +\tfrac12t^{2}-\tfrac32t-\tfrac34.

Resposta

\boxed{ \begin{aligned} x_{1}(t)&=C_{1}e^{2t}+C_{2}-\tfrac12t^{2}+\tfrac12t-\tfrac34,\\\ x_{2}(t)&=C_{1}e^{2t}-C_{2}+\tfrac12t^{2}-\tfrac32t-\tfrac34, \end{aligned} }
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

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