Ache a solução geral dos sistemas de equações dados abaixo
\left{ \begin{array}{l}x_{1}^{\prime}(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t)+4 \cos t \\ x_{2}^{\prime}(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t)+2 \operatorname{sen} t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear não-homogêneo
\begin{cases} x_{1}'(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t)+4\cos t,\\\ x_{2}'(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t)+2\sin t, \end{cases}
e pede a solução geral \{x_{1}(t),x_{2}(t)\}.
O método é clássico: escrevemos a solução geral como soma da solução geral do sistema homogêneo
x' = A\,x,\quad A=\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & -1\end{pmatrix},
mais uma solução particular de x'=Ax+f(t) com f(t)=(4\cos t,\,2\sin t)^{T}.

Passo 2

Encontrando a solução do homogêneo x'=Ax:
defina
y(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t).
Então
y'(t)=x_{1}'(t)-x_{2}'(t) =(x_{1}-x_{2})-(x_{1}-x_{2})=0,
logo y(t)=C_{1} (constante).
Como x_{1}'(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t)=C_{1}, integra-se
x_{1}(t)=C_{1}\,t + C_{2}.
Então
x_{2}(t)=x_{1}(t)-C_{1}=C_{1}\,t + C_{2}-C_{1}.
Portanto a solução geral do homogêneo é
x_{1}^{(h)}(t)=C_{1}\,t + C_{2},\qquad x_{2}^{(h)}(t)=C_{1}\,t + (C_{2}-C_{1}),
com constantes C_{1},C_{2}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular do sistema completo por coeficientes a determinar. Suponha
x_{p}(t) =\begin{pmatrix} a\cos t + b\sin t\\[6pt] c\cos t + d\sin t \end{pmatrix}.
Então
x_{p}'(t) =\begin{pmatrix} -a\sin t + b\cos t\\[3pt] -c\sin t + d\cos t \end{pmatrix},
deve satisfazer
x_{p}'(t)=A\,x_{p}(t)+ \begin{pmatrix}4\cos t\\\ 2\sin t\end{pmatrix}.
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
  1. Para a primeira linha:
-a\sin t + b\cos t =(a-c+4)\cos t + (b-d)\sin t,
que gera
b = a - c + 4, \quad -d = b - d \;\Longrightarrow\; d = a + b.
  1. Para a segunda linha:
-c\sin t + d\cos t =(a-c)\cos t + (b-d+2)\sin t,
que gera
d = a - c, \quad -c = b - d + 2 \;\Longrightarrow\; d = b + c + 2.
Resolvendo esse sistema para a,b,c,d, encontra-se
a=-4,\quad b=6,\quad c=-6,\quad d=2.
Logo
x_{p}(t) =\begin{pmatrix} -4\cos t +6\sin t\\[3pt] -6\cos t +2\sin t \end{pmatrix}.]

Passo 4

A solução geral do sistema é
x(t)=x^{(h)}(t)+x_{p}(t).
Assim
x_{1}(t) =C_{1}\,t + C_{2} \;+\;\bigl(-4\cos t +6\sin t\bigr),
x_{2}(t) =C_{1}\,t + (C_{2}-C_{1}) \;+\;\bigl(-6\cos t +2\sin t\bigr).

Resposta

\boxed{ \begin{aligned} x_{1}(t)&=C_{1}\,t + C_{2} - 4\cos t +6\sin t,\\\ x_{2}(t)&=C_{1}\,t + (C_{2}-C_{1}) -6\cos t +2\sin t, \end{aligned} }
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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