(2 pontos) Determine o comprimento do gráfico de f definida por f(x)=\frac{x^{3}}{12}+\frac{1}{x}, 1 \leq x \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do gráfico da função
f(x)=\frac{x^{3}}{12}+\frac{1}{x},\quad 1\le x\le4.
O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma curva no plano. A fórmula geral é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Precisamos então calcular f'(x), simplificar 1+(f')^{2} e integrar de 1 a 4.

Passo 2

Derivando \,f(x)\, por regras de potência e de x^{-1}, obtemos
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^{3}}{12}\Bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr) =\frac{x^{2}}{4}-\frac{1}{x^{2}}.
Agora elevamos ao quadrado e somamos 1:
1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2} =1+\Bigl(\frac{x^{2}}{4}-\frac{1}{x^{2}}\Bigr)^{2} =\frac{x^{4}}{16}-\frac12+\frac{1}{x^{4}}+1 =\frac{x^{4}}{16}+\frac12+\frac{1}{x^{4}}.
Repare que esse resultado é
\frac{x^{4}}{16}+\frac12+\frac{1}{x^{4}} =\Bigl(\frac{x^{2}}{4}+\frac{1}{x^{2}}\Bigr)^{2},
logo, para x>0,
\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}} =\frac{x^{2}}{4}+\frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento, temos
L=\int_{1}^{4}\Bigl(\frac{x^{2}}{4}+\frac{1}{x^{2}}\Bigr)\,dx =\int_{1}^{4}\frac{x^{2}}{4}\,dx+\int_{1}^{4}x^{-2}\,dx.
As primitivas são
\int\frac{x^{2}}{4}\,dx=\frac{x^{3}}{12}, \quad \int x^{-2}\,dx=-\frac{1}{x}.

Passo 4

Agora avaliamos entre 1 e 4:
L=\left[\frac{x^{3}}{12}\right]_{1}^{4}+\left[-\frac1{x}\right]_{1}^{4} =\Bigl(\frac{4^{3}}{12}-\frac{1^{3}}{12}\Bigr)+\Bigl(-\frac{1}{4}+1\Bigr) =\frac{63}{12}+\frac{3}{4} =\frac{21}{4}+\frac{3}{4} =6.

Resposta

O comprimento do gráfico de f no intervalo [1,4] é 6.

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