Ache a solução geral do sitema de equações e desenhe o retrato de fase.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de dimensão 2 e o desenho do retrato de fase. O conteúdo principal é resolução de sistemas lineares constantes pela técnica de autovalores e autovetores. Vamos precisar montar a matriz do sistema, calcular seu polinômio característico, encontrar autovalores e autovetores, escrever a solução em termos de modos e, por fim, descrever o tipo de ponto de equilíbrio para esboçar o retrato de fase.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma vetorial x' = A, x, com
A = 1 & -1 [6pt] 2 & 4
O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det!1-lambda & -1 [3pt] 2 & 4-lambda = (1-lambda)(4-lambda) - (-1)cdot 2 = lambda^2 - 5lambda +6
Igualando a zero, obtemos
lambda^2 -5lambda +6 = 0 Longrightarrow lambda = 2,;3 ]

Passo 3

Para , resolvemos
escolhendo
Para ,
escolhendo ]

Passo 4

A combinação linear dos modos fornece a solução geral:
x(t) = C1,e^2t1-1 + C2,e^3t1-2,
onde C1,C2in R são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Para o retrato de fase, como ambos os autovalores são positivos ( 2 e 3), o ponto de equilíbrio na origem é um nó‐fonte (instável). As direções invariantes são as retas geradas pelos autovetores l(1,-1)r e l(1,-2)r. As trajetórias saem radialmente da origem, tendendo a alinhar‐se cada vez mais com a direção de autovalor maior ( lambda=3).

Resposta

Solução geral:
x(t) = C1,e^2t1-1 + C2,e^3t1-2
Retrato de fase: nó‐fonte com direções invariantes ao longo de (1,-1) e (1,-2), flechas apontando para fora do origem.

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