Ache a solução geral do sitema de equações e desenhe o retrato de fase.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear de dimensão 2 e o desenho do retrato de fase. O conteúdo principal é resolução de sistemas lineares constantes pela técnica de autovalores e autovetores. Vamos precisar montar a matriz do sistema, calcular seu polinômio característico, encontrar autovalores e autovetores, escrever a solução em termos de modos e, por fim, descrever o tipo de ponto de equilíbrio para esboçar o retrato de fase.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma vetorial
, com
O polinômio característico é
Igualando a zero, obtemos
Passo 3
Para
, resolvemos
escolhendo
Para
,
escolhendo
]
Passo 4
A combinação linear dos modos fornece a solução geral:
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Para o retrato de fase, como ambos os autovalores são positivos (
e
), o ponto de equilíbrio na origem é um nó‐fonte (instável). As direções invariantes são as retas geradas pelos autovetores
e
. As trajetórias saem radialmente da origem, tendendo a alinhar‐se cada vez mais com a direção de autovalor maior (
).
Resposta
Solução geral:
Retrato de fase: nó‐fonte com direções invariantes ao longo de
e
, flechas apontando para fora do origem.