De todos os paralelepípedos retângulos de volume dado, qual o de área máxima? 14.

Passo 1

Resumindo: queremos escolher as arestas x,y,z>0 de um paralelepípedo retângulo de modo que o volume seja fixo,
xyz = V,
e ao mesmo tempo a área total
A = 2(xy + xz + yz)
seja máxima. O conteúdo aqui é otimização com restrição, que faremos usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função a otimizar e a restrição:
f(x,y,z) = 2(xy + xz + yz),
g(x,y,z) = xyz - V = 0
Pelo método de Lagrange, impomos
nabla f = lambda,nabla g
Calculamos os gradientes:
nabla f = l(2(y+z),,2(x+z),,2(x+y)r),
nabla g = l(yz,,xz,,xyr)

Passo 3

O sistema nabla f = lambdanabla g dá as três equações
2(y+z) = lambda,yz, 2(x+z) = lambda,xz, 2(x+y) = lambda,xy,
além de xyz=V. Dividindo a primeira pela segunda, por exemplo, obtemos
y+zx+z = yzxz = yx,
o que leva a x=y. Analogamente das outras razões vem y=z. Logo o único ponto crítico interior satisfaz
x = y = z,
isto é, o cubo.

Passo 4

Calculamos a área nesse ponto:
x=y=z = raiz[3]V, Arm cubo = 2l(raiz[3]Vr)^2 cdot 3 = 6,V^2/3
Para ver se é máximo ou mínimo, notamos que ao fazer, por exemplo, xto0^+ e ajustar y, z tal que xyz=V, as faces que envolvem x vão a zero mas as outras duas faces yz crescem sem limite, de modo que Ato+infty.

Passo 5

Conclusão: não há paralelepípedo de área máxima sob volume fixo, pois a área pode crescer arbitrariamente fazendo uma aresta tender a zero e as outras crescerem para manter o volume.

Resposta

Não existe paralelepípedo de área máxima (a área tende a infinito quando uma aresta tende a zero).

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