De todos os paralelepípedos retângulos de volume dado, qual o de área máxima? 14.
Passo 1
Resumindo: queremos escolher as arestas
de um paralelepípedo retângulo de modo que o volume seja fixo,
e ao mesmo tempo a área total
seja máxima. O conteúdo aqui é otimização com restrição, que faremos usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos a função a otimizar e a restrição:
Pelo método de Lagrange, impomos
Calculamos os gradientes:
Passo 3
O sistema
dá as três equações
além de
. Dividindo a primeira pela segunda, por exemplo, obtemos
o que leva a
. Analogamente das outras razões vem
. Logo o único ponto crítico interior satisfaz
isto é, o cubo.
Passo 4
Calculamos a área nesse ponto:
Para ver se é máximo ou mínimo, notamos que ao fazer, por exemplo,
e ajustar
,
tal que
, as faces que envolvem
vão a zero mas as outras duas faces
crescem sem limite, de modo que
.
Passo 5
Conclusão: não há paralelepípedo de área máxima sob volume fixo, pois a área pode crescer arbitrariamente fazendo uma aresta tender a zero e as outras crescerem para manter o volume.
Resposta
Não existe paralelepípedo de área máxima (a área tende a infinito quando uma aresta tende a zero).