Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.
y^prime prime+y=sec ^2 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não‐homogênea
y'' + y = sec^2 t
usando o método de variação de parâmetros. Vamos primeiro achar a solução complementar (homogênea) e depois construir uma particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y = 0
Suas soluções fundamentais são
y1(t) = cos t, y2(t) = sin t
Logo a solução complementar é
yc(t) = C1cos t + C2sin t

Passo 3

No método de variação de parâmetros, buscamos
yp = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t)
com as condições
u1' y1 + u2' y2 = 0, u1' y1' + u2' y2' = sec^2 t
O wronskiano é
W = y1y2' - y1'y2 = cos tcdotcos t -(-sin t)cdotsin t =1

Passo 4

Das condições obtemos as derivadas
u1' = -y2,sec^2 tW = -sin t;sec^2 t = -sin tcos^2 t,
u2' = y1,sec^2 tW = cos t;sec^2 t = 1cos t = sec t

Passo 5

Integramos para encontrar u1 e u2:
u1(t) = integral -sin tcos^2 t,dt
Fazendo u=cos t, du=-sin t,dt, vem
u1(t) = integral duu^2 = -1u = -sec t
E
u2(t) = integral sec t,dt = lnl|sec t + tan tr|

Passo 6

A solução particular é
yp = u1,cos t + u2,sin t = (-sec t)cos t + lnl|sec t + tan tr|sin t = -1 + sin t;lnl|sec t + tan tr|
Portanto, a solução geral fica
y(t) = yc(t) + yp(t) = C1cos t + C2sin t - 1 + sin t,lnl|sec t + tan tr|

Resposta

y(t) = C1cos t + C2sin t - 1 + sin t,lnl|sec t + tan tr|

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