Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.
y^prime prime+y=sec theta tan theta

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y'' + y = secthetatantheta
usando o método de variação de parâmetros. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Para aplicar variação de parâmetros, primeiro precisamos da solução geral da homogênea e do Wronskiano das soluções fundamentais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, com raízes r = pm i. Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1costheta + C2sintheta
Tomamos como soluções fundamentais y1 = costheta e y2 = sintheta.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de y1 e y2:
W = y1 & y2 [6pt] y1' & y2' = costheta & sintheta [3pt] -sintheta & costheta = cos^2theta + sin^2theta = 1 ]

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, definimos funções u1(theta) e u2(theta) tais que
u1' = -f(theta),y2W, u2' = f(theta),y1W,
onde f(theta)=secthetatantheta. Substituindo,
u1' = -secthetatantheta;sintheta = -tan^2theta,
u2' = secthetatantheta;costheta = tantheta

Passo 5

Agora integramos para encontrar u1 e u2:
u1 = integral (-tan^2theta),dtheta = -integral(sec^2theta - 1),dtheta = -tantheta + theta,
u2 = integral tantheta,dtheta = -lnlvertcosthetarvert
As constantes de integração podem ser absorvidas na solução homogênea.

Passo 6

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = (-tantheta + theta)costheta ;-;lnlvertcosthetarvert,sintheta
Expandindo e observando que o termo -sintheta pode ser incorporado à homogênea, obtemos
yp = thetacostheta ;-;sintheta,lnlvertcosthetarvert

Resposta

y(theta) = C1costheta + C2sintheta + thetacostheta - sinthetalnlvertcosthetarvert

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