Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.
y^prime prime+y=sec t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y''+y=sec t
usando o método de variação de parâmetros, que é um procedimento para encontrar uma solução particular de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y''+y=0
As raízes do polinômio característico r^2+1=0 são r=pm i, logo a solução geral homogênea é
yh(t)=C1cos t +C2sin t
Definimos y1(t)=cos t, y2(t)=sin t e f(t)=sec t.

Passo 3

No método de variação de parâmetros buscamos
yp(t)=u1(t)y1(t)+u2(t)y2(t)
com u1 e u2 satisfazendo
u1'(t)y1(t)+u2'(t)y2(t)=0, u1'(t)y1'(t)+u2'(t)y2'(t)=f(t)
O Wronskiano vale
W(t)= y1 & y2 y1'& y2' =cos tcdotcos t -(-sin t)cdotsin t=1
Assim
u1'(t)=-y2(t),f(t)W(t), u2'(t)=y1(t),f(t)W(t)

Passo 4

Calculamos
u1'(t)=-sin tcdotsec t=-tan t Longrightarrow u1(t)=integral -tan t,dt=lnl|cos tr|

Passo 5

Calculamos
u2'(t)=cos tcdotsec t=1 Longrightarrow u2(t)=integral 1,dt=t

Passo 6

A solução particular fica
yp(t)=u1(t)cos t +u2(t)sin t =cos t;lnl|cos tr|+t,sin t

Passo 7

A solução geral é
y(t)=yh(t)+yp(t) =C1cos t +C2sin t +cos t;lnl|cos tr|+t,sin t

Resposta

y(t)=C1cos t +C2sin t+cos tlnl|cos tr|+t,sin t

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