Uma indústria produz x unidades por dia de um determinado produto que e venaico em sua totalidade a um preço de R$80,00 a unidade. O custo total para a produção diária de 80,00 a unidade O custo total para a produção diária de unidades é igual a unidades é igual a . Para que a indústria tenha um lucro diário Para que a indústria tenha um lucro diário máximo, qual deve ser o número de unidades produzidas e vendidas por dia?

Passo 1

Resumo do enunciado: a indústria vende cada unidade por R$ 80,00 e tem custo total diário dado por
C(x)=x^2+20x+500
Precisamos determinar x que maximiza o lucro diário L. Vamos usar cálculo de funções quadráticas (ou derivada) para encontrar esse ponto de máximo.

Passo 2

A receita total diária R(x) ao vender x unidades é
R(x)=80x

Passo 3

O lucro diário L(x) é a diferença entre receita e custo:
L(x)=R(x)-C(x)=80x-l(x^2+20x+500r)=-x^2+60x-500

Passo 4

Para maximizar a função quadrática L(x)=-x^2+60x-500 usamos a condição de ponto crítico pela derivada:
L'(x)=-2x+60
Igualando a zero para achar o extremo:
-2x+60=0 Longrightarrow x=30
Como L''(x)=-2<0, esse ponto é um máximo.

Resposta

A indústria deve produzir e vender 30 unidades por dia para obter o lucro máximo.

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