Encontrar o plano tangente e vetor normal em P.
(g) z=x^y, P=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por
z = x^y
e pede o plano tangente e um vetor normal em P=(1,1,1). O conteúdo aqui envolve derivadas parciais de funções f(x,y)=x^y e a fórmula do plano tangente a uma superfície explícita z=f(x,y):
z - z0 = fx(x0,y0),(x-x0) + fy(x0,y0),(y-y0),
além da obtenção do vetor normal l(-fx,-fy,1r).

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f(x,y)=x^y em relação a x. Pela regra de potência com expoente variável,
fx(x,y) = partialpartial xx^y = y,x^,y-1
Em P=(1,1) isso vale
fx(1,1) = 1cdot 1^,1-1 = 1cdot1^0 = 1

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f(x,y)=x^y em relação a y. Pela derivada de a^y em y,
fy(x,y) = partialpartial yx^y = x^yln(x)
Em P=(1,1) obtemos
fy(1,1) = 1^1ln(1) = 1cdot0 = 0

Passo 4

Usando a fórmula do plano tangente em (x0,y0,z0)=(1,1,1),
z - 1 = fx(1,1),(x-1) + fy(1,1),(y-1)
substituindo os valores,
z - 1 = 1,(x-1) + 0,(y-1) Longrightarrow z - 1 = x-1 Longrightarrow z = x

Passo 5

Um vetor normal a esse plano é dado por
l(-fx(1,1),,-fy(1,1),,1r) = (-1,,0,,1)

Resposta

Plano tangente:
z = x
Vetor normal:
(-1,,0,,1)

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