Encontrar o plano tangente e vetor normal em P.
(f) x^2+y^2+2 z^2=7,(1,2,1).

Passo 1

O enunciado dá a superfície implícita
x^2+y^2+2z^2=7
e o ponto P=(1,2,1). O conteúdo é derivadas parciais e gradiente de uma função implícita. Para achar o plano tangente e o vetor normal, vamos usar que se
F(x,y,z)=x^2+y^2+2z^2-7,
então nabla F(P) é normal à superfície em P e o plano tangente satisfaz
nabla F(P)cdot[(x,y,z)-P]=0.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=x^2+y^2+2z^2-7
As derivadas parciais são
partial Fpartial x=2x, partial Fpartial y=2y, partial Fpartial z=4z

Passo 3

Avaliando em P=(1,2,1) temos
nabla F(1,2,1) =(2cdot1,;2cdot2,;4cdot1) =(2,4,4)
Esse é o vetor normal à superfície em P.

Passo 4

A equação do plano tangente em P é
nabla F(1,2,1)cdotl((x,y,z)-(1,2,1)r)=0,
isto é,
2(x-1)+4(y-2)+4(z-1)=0
Desenvolvendo e simplificando:
2x-2+4y-8+4z-4=0 Longrightarrow 2x+4y+4z-14=0 Longrightarrow x+2y+2z-7=0

Resposta

Vetor normal em P: n=(2,4,4).
Plano tangente em P:
x+2y+2z-7=0

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