Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.
y^prime prime-4 y=e^2 tt

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 4y = e^2tt
usando o método de variação de parâmetros. Para aplicá-lo, precisamos primeiro achar a solução geral da homogênea associada e, em seguida, calcular duas funções u1(t) e u2(t) que vão gerar uma solução particular.

Passo 2

A homogênea é
y'' - 4y = 0,
cuja equação característica é r^2 - 4 = 0, com raízes r = 2 e r = -2. Logo as duas soluções lineares independentes são
y1(t) = e^2t, y2(t) = e^-2t
O Wronskiano dessas soluções é
W(t) = y1 & y2 y1' & y2' = e^2tl(-2e^-2tr);-;e^-2tl(2e^2tr) = -4

Passo 3

No método de variação de parâmetros, buscamos
yp(t) = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t),
com as condições auxiliares
u1',y1 + u2',y2 = 0, u1',y1' + u2',y2' = e^2tt
Dessas equações vem as fórmulas padrão:
u1'(t) = -y2(t),l(e^2t/tr)W(t), u2'(t) = y1(t),l(e^2t/tr)W(t)

Passo 4

Substituindo y1, y2 e W em u1':
u1'(t) = -e^-2t,e^2tt-4 = 14t
Integrando,
u1(t) = integral 14t,dt = 14lnlvert trvert

Passo 5

Agora :
Integramos usando a função integral exponencial :

Passo 6

A solução particular é
Somando com a homogênea, a solução geral fica

Resposta

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