Calcule o valor esperado e o desvio padrão e determine a simetria ou assimetria da distribuição de probabilidade de
Exercício 3 a. Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 20 % de tubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos?

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de inspeção em que extraímos aleatoriamente n=10 tubos de uma carga em que a probabilidade de defeito em cada tubo é p=0,2. Vamos modelar o número de tubos defeituosos por uma variável aleatória binomial Xsim B(n,p). Precisamos calcular o valor esperado, o desvio padrão, determinar se a distribuição é simétrica ou assimétrica e, por fim, encontrar a probabilidade de que no máximo 2 tubos sejam defeituosos, isto é, P(X<=2).

Passo 2

Para uma distribuição binomial Xsim B(n,p) valem as fórmulas
E[X] = n,p,
Var(X) = n,p,(1-p),
sigma = raizVar(X)
Aplicando n=10 e p=0,2:
E[X] = 10cdot0,2 = 2,
Var(X) = 10cdot0,2cdot0,8 = 1,6,
sigma = raiz1,6approx1,2649

Passo 3

Como p=0,2<0,5, a distribuição binomial é assimétrica à direita (assimetria positiva), pois a cauda se estende mais para valores maiores de X.

Passo 4

Para calcular a probabilidade de no máximo 2 defeituosos usamos
P(X<=2) = sumk=0^2 binom10k,(0,2)^k,(0,8)^10-k
Para k=0:
P(X=0) = binom100(0,2)^0(0,8)^10 = (0,8)^10approx0,1074
Para k=1:
P(X=1) = binom101(0,2)^1(0,8)^9 = 10cdot0,2cdot(0,8)^9approx0,2684
Para k=2:
P(X=2) = binom102(0,2)^2(0,8)^8 = 45cdot0,04cdot(0,8)^8approx0,3010
Somando os três termos:
P(X<=2)approx0,1074 + 0,2684 + 0,3010 = 0,6768

Resposta

E[X]=2
sigmaapprox1,2649
Distribuição assimétrica à direita (assimetria positiva)
P(X<=2)approx0,6768

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