Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO DE VARIAÇÃO DE PARÂMETROS.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^t arctan t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y'' - 2y' + y = e^tarctan t
usando o método de variação de parâmetros. É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Primeiro vamos achar a solução geral homogênea e depois construir uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0 Longrightarrow (r-1)^2 = 0,
com raiz dupla r=1. Logo a solução homogênea é
yh(t) = l(C1 + C2,tr)e^t

Passo 3

Pela variação de parâmetros tomamos duas soluções fundamentais
y1(t)=e^t, y2(t)=t,e^t,
cujo Wronskiano é
W(t)= y1 & y2[6pt] y1'& y2' = e^t & t,e^t[3pt] e^t & (1+t)e^t =e^2t
As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'(t) = -y2(t),f(t)W(t), u2'(t) = y1(t),f(t)W(t),
onde f(t)=e^tarctan t.]

Passo 4

Substituindo em u1' e u2':
u1'(t) = -t,e^tcdot e^tarctan te^2t = -,t,arctan t,
u2'(t) = e^tcdot e^tarctan te^2t = arctan t

Passo 5

Calculamos agora u2(t)=integral arctan t,dt. Por partes, com
U=arctan t, dV=dt, obtemos
integral arctan t,dt = t,arctan t - integral t1+t^2,dt = t,arctan t - tfrac12lnl(1+t^2r) + C
Assim podemos tomar
u2(t)=t,arctan t-tfrac12lnl(1+t^2r)

Passo 6

Para u1(t)=integral -t,arctan t,dt fazemos integração por partes com
U=arctan t, dV=t,dt. Então
integral t,arctan t,dt =t^22,arctan t -12integralt^21+t^2,dt =t^22,arctan t -12l(t - arctan tr)
=t^22,arctan t - t2 + arctan t2
Logo
u1(t) =-integral t,arctan t,dt =-t^22,arctan t + t2 - arctan t2

Passo 7

A solução particular é
yp(t) = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t)
Substituindo y1=e^t e y2=t,e^t e os ui:
yp(t) =e^tl[ -tfract^22arctan t + tfract2 - tfracarctan t2 r] + t,e^tl[ t,arctan t - tfrac12ln(1+t^2) r]

Passo 8

Fatorando e^t/2 e simplificando, chega-se a
yp(t) =e^t2l[ (t^2-1),arctan t ;+; t ;-; t,lnl(1+t^2r) r]

Resposta

A solução geral é
boxed y(t) = l(C1 + C2,tr)e^t ;+; e^t2l[ (t^2-1),arctan t + t - t,lnl(1+t^2r) r]

Exercícios relacionados