Determine os valores máximos e mínimos locais e os poutos de scla da funçäo:
f(x, y)=x^3-6 x y+8 y^3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=x^3-6xy+8y^3
e classificá-los (mínimos, máximos locais ou sela). Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar os pontos críticos e, em seguida, analisar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
fx(x,y)=3x^2-6y=0,
fy(x,y)=-6x+24y^2=0
Da primeira vem ;y=tfracx^22. Da segunda vem ;x=4y^2.

Passo 3

Substituindo y=tfracx^22 em x=4y^2 obtemos
x=4l(tfracx^22r)^2 ;Longrightarrow; x=4cdottfracx^44 ;Longrightarrow; x^4-x=0 ;Longrightarrow; x(x^3-1)=0
Assim x=0 ou x=1.
Se x=0 então y=0.
Se x=1 então y=tfrac1^22=tfrac12.
Logo os pontos críticos são (0,0) e l(1,tfrac12r).

Passo 4

Agora a Hessiana de f é dada por
fxx(x,y)=6x, fxy(x,y)=-6, fyy(x,y)=16y
No ponto (0,0):
fxx=0, fyy=0, fxy=-6 Longrightarrow D=fxx,fyy-(fxy)^2=0cdot0-(-6)^2=-36<0,
logo (0,0) é ponto de sela.
No ponto l(1,tfrac12r):
fxx=6, fyy=8, fxy=-6 Longrightarrow D=6cdot8-(-6)^2=48-36=12>0
Como D>0 e fxx=6>0, esse ponto é mínimo local. O valor ali é
fl(1,tfrac12r) =1^3-6cdot1cdottfrac12+8l(tfrac12r)^3 =1-3+1=-1

Passo 5

Não há outro ponto crítico real, e não surge nenhum máximo local.

Resposta

Ponto de sela: (0,0).
Mínimo local: l(1,tfrac12r) com f(1,tfrac12)=-1.
Não há máximo local.

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