Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de f. caso existam, sujeita à(s) restrição(ões) dada(s):
f(x, y)=1x+1y
1x^2+1y^2=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y)=1x+1y
sujeito à restrição
1x^2+1y^2=1
O método que vamos usar é o dos multiplicadores de Lagrange: definimos uma função
L(x,y,lambda)=f(x,y)-lambdal(g(x,y)r)
onde
g(x,y)=1x^2+1y^2-1

Passo 2

Montamos a função de Lagrange e escrevemos as condições de primeiro ordem:
L(x,y,lambda) =1x+1y -lambdal(1x^2+1y^2-1r)
As equações partialL/partial x=0 e partialL/partial y=0 dão
-1x^2 +lambda2x^3=0, -1y^2 +lambda2y^3=0

Passo 3

Das duas equações acima isolamos lambda:
-1x^2+2lambdax^3=0 implies lambda=x2, -1y^2+2lambday^3=0 implies lambda=y2
Logo tfracx2=tfracy2, ou seja
x=y

Passo 4

Substituindo x=y na restrição
1x^2+1x^2=1 ;Longrightarrow; 2x^2=1 ;Longrightarrow; x^2=2 ;Longrightarrow; x=y=pmraiz2
Portanto os pontos críticos são
(raiz2,raiz2) e (-raiz2,-raiz2).

Passo 5

Agora calculamos f nesses pontos:
f(raiz2,raiz2) =1raiz2+1raiz2 =raiz2, f(-raiz2,-raiz2) =-1raiz2-1raiz2 =-raiz2
Analisando o comportamento de f na curva de restrição (que tende a valores entre -1 e 1 nos “pontos de fuga”), concluímos que
raiz2 é o valor máximo global e -raiz2 é o valor mínimo global sobre a restrição.

Resposta

Valor máximo: raiz2 em (raiz2,raiz2).
Valor mínimo: -raiz2 em (-raiz2,-raiz2).

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