Calcule os limites a seguir
lim x +infty x(2 x-7 cos x)3 x^2-5 sin x+1;

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyx(2x-7cos x)3x^2-5sin x+1,
que é um limite de função em infinito envolvendo termos polinomiais e funções trigonométricas limitadas. Para resolver, vamos usar a ideia de fatorar a maior potência de x e aplicar que cos x e sin x são limitadas.

Passo 2

Reescrevemos numerador e denominador destacando potências de x:
o numerador fica
x(2x-7cos x)=2x^2-7xcos x
e o denominador já está em forma desenvolvida
3x^2-5sin x+1

Passo 3

Fatoramos x^2 no numerador e no denominador, dividindo ambos por x^2:
2x^2-7xcos x3x^2-5sin x+1 =x^2l(2-7cos xxr)x^2l(3-5sin xx^2+1x^2r) =2-7cos xx3-5sin xx^2+1x^2

Passo 4

Para xto+infty, temos
cos x limitado em [-1,1] implica
cos xxto0, e similarly
sin xx^2to0, 1x^2to0.
Logo o numerador tende a 2-7cdot0=2 e o denominador tende a 3-0+0=3.

Passo 5

Portanto o limite da razão é
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Resposta

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