Ache a solução geral de y^prime prime+2x y^prime+y=0, x>0. Sugestão: Faça y(x)=v(x) / x e substitua na equação.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO de segunda ordem
y''+2xy'+y=0, x>0,
usando a substituição sugerida y(x)=dfracv(x)x. Vamos aplicar essa ideia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de y em função de v. Usando derivação de quociente, temos:
y'=v'x-vx^2,
y''=v''x-2v'x^2+2vx^3

Passo 3

Agora substituímos y, y' e y'' na EDO original:
y''+2xy'+y=iggl(v''x-2v'x^2+2vx^3gr)+2xgl(v'x-vx^2gr)+vx 
Agrupando termos semelhantes, tudo se reduz a
v''+vx=0,
ou seja, chegamos à EDO mais simples
v''+v=0

Passo 4

A EDO v''+v=0 é a equação do oscilador harmônico simples. Sua solução geral é
v(x)=C1cos x + C2sin x,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável y usando y=dfracvx. Assim, a solução geral da EDO original é
y(x)=C1cos x + C2sin xx

Resposta

y(x)=C1cos x + C2sin xx

Exercícios relacionados