Calcule
lim (h, k) (0,0) f(x+h, y+k)-f(x, y)-2 x h-k|(h, k)|
onde f(x, y)=x^2+y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma expressão que envolve a função de duas variáveis f(x,y)=x^2+y, onde subtraímos sua aproximação linear (diferencial) dado por 2xh+k e dividimos pela norma do vetor (h,k). O conteúdo é limite em várias variáveis e uso de derivadas parciais (aproximação linear).

Passo 2

Primeiro, calculamos diretamente f(x+h,y+k):
f(x+h,y+k)=(x+h)^2+(y+k)=x^2+2xh+h^2+y+k

Passo 3

Depois, subtraímos f(x,y)=x^2+y e também o termo linear da aproximação 2xh+k:
f(x+h,y+k)-f(x,y)-2xh-k=(x^2+2xh+h^2+y+k)-(x^2+y)-2xh-k=h^2

Passo 4

Agora o quociente fica
racf(x+h,y+k)-f(x,y)-2xh-k|(h,k)|= rach^2raizh^2+k^2
Para (h,k)to(0,0), note que |h^2|=h^2<=raizh^2+k^2,|h|, então
0<=|h^2raizh^2+k^2|=h^2raizh^2+k^2<=|h|to0
Logo, o limite é zero.

Resposta

0

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