Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(16) an=arctg(ln (n))
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(17) an=0,1,0,0,1,0,0,0,1, ldots

Passo 1

Nesse exercício vamos verificar convergência de duas sequências: a(16) e a(17) a sequência periódica an=arctg(ln(n)). O conteúdo envolve limites de sequências e comportamento de funções compostas.

Passo 2

Analisando : primeiro lembramos que an=arctg(ln(n)) cresce sem limite conforme ln(n). Em outras palavras,
ntoinfty

Passo 3

Em seguida usamos o fato de que a função arctg(x) tem limite
limxtoinftyarctg(x)=pi2

Passo 4

Compondo esses resultados,
limntoinftyan=limntoinftyarctg(ln(n))=pi2,
logo essa sequência converge.

Passo 5

Agora para a sequência periódica 0,1,0,0,1,0,0,0,1,ldots notamos que ela alterna entre 0 e 1 repetidamente, aparecendo infinitas vezes 0 e infinitas vezes 1. Para uma sequência convergir, seus termos devem se aproximar de um único valor. Aqui não existe valor único que os termos se aproximem, pois continuam a saltar entre 0 e 1,
portanto essa sequência diverge.

Resposta

Para (16) a sequência converge e limntoinftyan=pi2. Para (17) a sequência diverge.

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