Sabendo que
é solução de
, determine:
a) Uma solução da equação dada da forma
, de modo que
seja um sistema fundamental de soluções.
b) Todas as soluções
da equação que satisfazem
.
a) Uma solução da equação dada da forma
b) Todas as soluções
Passo 1
O enunciado é uma equação diferencial de Euler–Cauchy:
. Já sabemos uma solução
. O conteúdo é redução de ordem para achar a segunda solução independente e depois formar a solução geral e aplicar a condição
.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por
:
Daqui, identificamos
para usar a fórmula de redução de ordem.
Passo 3
A fórmula de redução de ordem diz que, dado
, uma segunda solução é
Calculamos
Passo 4
Substituindo na integral:
Então
Podemos escolher como segunda solução independente
.
Passo 5
A solução geral da equação é
Passo 6
Para satisfazer
, temos
Logo as soluções que satisfazem isso são
Resposta
a) Uma segunda solução independente é y_{2}(x)=x^{-2}.
b) As soluções com y(1)=0 são y(x)=C\bigl(x{2}-x{-2}\bigr), com C constante arbitrária.
b) As soluções com y(1)=0 são y(x)=C\bigl(x{2}-x{-2}\bigr), com C constante arbitrária.