Sabendo que y1(x)=x^2 é solução de x^2 y^prime prime+x y^prime-4 y=0, determine:
a) Uma solução da equação dada da forma y2(x)=v(x) y1(x), de modo que y1, y2 seja um sistema fundamental de soluções.
b) Todas as soluções y da equação que satisfazem y(1)=0.

Passo 1

O enunciado é uma equação diferencial de Euler–Cauchy: x^2y''+xy'-4y=0. Já sabemos uma solução y1(x)=x^2. O conteúdo é redução de ordem para achar a segunda solução independente e depois formar a solução geral e aplicar a condição y(1)=0.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por x^2:
y''+1xy'-4x^2y=0
Daqui, identificamos P(x)=tfrac1x para usar a fórmula de redução de ordem.

Passo 3

A fórmula de redução de ordem diz que, dado y1, uma segunda solução é
y2=y1integrale^-integral P(x),dxy1^2,dx
Calculamos
e^-integral P(x),dx=e^-integral1xdx=e^-ln x=x^-1

Passo 4

Substituindo na integral:
integralx^-1(x^2)^2,dx=integral x^-5,dx=-14x^-4
Então
y2=x^2l(-tfrac14x^-4r)=-tfrac14x^-2
Podemos escolher como segunda solução independente y2(x)=x^-2.

Passo 5

A solução geral da equação é
y(x)=C1x^2+C2x^-2

Passo 6

Para satisfazer y(1)=0, temos
y(1)=C1cdot1^2+C2cdot1^-2=C1+C2=0implies C2=-C1
Logo as soluções que satisfazem isso são
y(x)=C1l(x^2-x^-2r), C1 arbitrário á

Resposta

a) Uma segunda solução independente é y_{2}(x)=x^{-2}.
b) As soluções com y(1)=0 são y(x)=C\bigl(x{2}-x{-2}\bigr), com C constante arbitrária.

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