Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas.
Passo 1
Beleza, o enunciado é o seguinte:
“Temos a EDO não-homogênea
“Temos a EDO não-homogênea
com condições iniciais
Isso cai em “Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes”. Para resolver, a gente vai precisar de três ingredientes:
- Resolver a equação homogênea associada (achar a solução geral homogênea).
- Usar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular do lado direito não-homogêneo.
- Ajustar as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
A parte homogênea é
A gente monta a equação característica trocando
Resolvendo:
Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
O termo
é um polinômio de grau 1 vezes
, e como
não é raiz da característica, a gente tenta
Agora calculamos derivadas:
$$y’_{p1} = \bigl(A,x + (A+B)\bigr)e^x,\qquad
y’’{p1} = \bigl(A,x + (2A+B)\bigr)e^x.y{p1} = \Bigl(x-\tfrac{3}{4}\Bigr)e^x.$$
Passo 4
Quando o lado direito é constante, tentamos
(constante).
Então , e
Então
Logo
Passo 5
Somando homogênea e particulares:
Passo 6
- Em
:
- Derivando
:
$$y’(x)=-C_1e{-x}-3C_2e{-3x}+\frac{d}{dx}\Bigl[(x-\tfrac{3}{4})e^x\Bigr]
=-C_1e{-x}-3C_2e{-3x}+(x+\tfrac14)e^x.
y’(0)=-C_1-3C_2+(0+\tfrac14)
;\overset{!}{=};\tfrac14
;\Longrightarrow;
-C_1-3C_2=0
;\Longrightarrow;
;\Longrightarrow;
-C_1-3C_2=0
;\Longrightarrow;
C_1+3C_2=0.$$
Passo 7
Sistema:
Da segunda:
. Substituindo na primeira:
Resposta
A solução que satisfaz tudo é