Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas.
y^prime prime+4 y^prime+3 y=8 x e^x-6 ; y(0)=114, y^prime(0)=14

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte:
“Temos a EDO não-homogênea
y''+4y'+3y=8x,e^x-6
com condições iniciais
y(0)=tfrac114, y'(0)=tfrac14
Isso cai em “Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes”. Para resolver, a gente vai precisar de três ingredientes:
  1. Resolver a equação homogênea associada (achar a solução geral homogênea).
  2. Usar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular do lado direito não-homogêneo.
  3. Ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
y''+4y'+3y=0
A gente monta a equação característica trocando yto e^rx:
r^2+4r+3=0
Resolvendo:
r^2+4r+3=(r+1)(r+3)=0;Longrightarrow;r=-1,;-3
Logo a solução geral homogênea é
yh = C1 e^-x + C2 e^-3x

Passo 3

O termo 8x,e^x é um polinômio de grau 1 vezes e^1cdot x, e como r=1 não é raiz da característica, a gente tenta
yp1 = (A,x+B),e^x
Agora calculamos derivadas:
$$y’_{p1} = \bigl(A,x + (A+B)\bigr)e^x,\qquad
y’’{p1} = \bigl(A,x + (2A+B)\bigr)e^x.y{p1} = \Bigl(x-\tfrac{3}{4}\Bigr)e^x.$$

Passo 4

Quando o lado direito é constante, tentamos yp2=E (constante).
Então y'p2=0,;y''p2=0, e
y''+4y'+3y=3E;=-6 ;Longrightarrow; E=-2
Logo
yp2=-2

Passo 5

Somando homogênea e particulares:
y(x)=yh+yp1+yp2 =C1e^-x+C2e^-3x+l(x-tfrac34r)e^x-2

Passo 6

  1. Em x=0:
y(0)=C1+C2+l(0-tfrac34r)cdot1-2 =C1+C2-tfrac34-2 =C1+C2-tfrac114 ;=;tfrac114
Longrightarrow C1+C2=tfrac114+tfrac114=tfrac112
  1. Derivando y(x):
$$y’(x)=-C_1e{-x}-3C_2e{-3x}+\frac{d}{dx}\Bigl[(x-\tfrac{3}{4})e^x\Bigr]
=-C_1e{-x}-3C_2e{-3x}+(x+\tfrac14)e^x. y'(x)=-C1e^-x-3C2e^-3x+ddxl[(x-tfrac34)e^xr] =-C1e^-x-3C2e^-3x+(x+tfrac14)e^xy’(0)=-C_1-3C_2+(0+\tfrac14)
;\overset{!}{=};\tfrac14
;\Longrightarrow;
-C_1-3C_2=0
;\Longrightarrow;
C_1+3C_2=0.$$

Passo 7

Sistema:
C1 + C2 = tfrac112, C1 +3C2=0
Da segunda: C1=-3C2. Substituindo na primeira:
-3C2 + C2 = tfrac112 ;Longrightarrow; -2C2=tfrac112 ;Longrightarrow; C2=-tfrac114, C1=-3!l(-tfrac114r)=tfrac334

Resposta

A solução que satisfaz tudo é
fbox $ y(x) =tfrac334,e^-x -tfrac114,e^-3x +l(x-tfrac34r)e^x -2 $

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