Ache a solução geral:
y^prime prime-4 y=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 4y = 0,
Isso é uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem, homogênea e com coeficientes constantes.
Para resolver esse tipo de problema, a gente vai usar o método da equação característica, que envolve supor que a solução é da forma e achar os valores de .

Passo 2

Vamos fazer a suposição
y = e^rx,
Então
y' = r,e^rx, y'' = r^2,e^rx
Substituindo na equação original r^2 e^rx - 4,e^rx = 0 Longrightarrow (r^2 - 4),e^rx = 0 , temos

Passo 3

Sabemos que r^2 - 4 = 0 Longrightarrow r^2 = 4 Longrightarrow r = pm 2 nunca é zero, então a única forma de a expressão acima anular é fazendo
Pronto: nossas raízes da equação característica são e .

Passo 4

Quando a gente tem duas raízes reais e distintas ( y(x) = C1,e^r1 x + C2,e^r2 x, ), a solução geral da equação diferencial é
onde e são constantes arbitrárias que aparecem por conta da ordem 2 da equação.

Resposta

boxedy(x) = C1,e^2x + C2,e^-2x,

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