Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a EDO
Isso é uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes.
O que a gente vai precisar:
- achar a solução geral da homogênea (característica e tal)
- depois usar variação de parâmetros pra achar uma solução particular
Não se preocupe que eu explico cada coisinha do básico, passo a passo.
Passo 2
Primeiro a parte homogênea:
A equação característica é
ou seja, raiz dupla .
Quando temos raiz dupla, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora a parte não-homogênea com variação de parâmetros.
A gente toma como “base” as duas soluções da homogênea:
O determinante (Wronskiano) é
[
W =
yp = u1,y1 + u2,y2,
= e^{-6x},.
]
Na variação de parâmetros definimos funções u1' y1 + u2' y2 = 0, u1' y1' + u2' y2' = f(x), onde f(x)=x^-3e^-3x tais que
e elas obedecem ao sistema
Passo 4
As fórmulas diretas de variação de parâmetros dizem: