Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas.
y^prime prime+6 y^prime+9 y=x^-3 e^-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a EDO
y'' + 6y' + 9y = x^-3e^-3x
Isso é uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes.
O que a gente vai precisar:
- achar a solução geral da homogênea (característica e tal)
- depois usar variação de parâmetros pra achar uma solução particular
Não se preocupe que eu explico cada coisinha do básico, passo a passo.

Passo 2

Primeiro a parte homogênea:
y'' + 6y' + 9y = 0
A equação característica é
r^2 + 6r + 9 = 0 Longrightarrow (r+3)^2 = 0,
ou seja, raiz dupla yh = C1 e^-3x + C2,x,e^-3x.
Quando temos raiz dupla, a solução geral da homogênea é

Passo 3

Agora a parte não-homogênea com variação de parâmetros.
A gente toma como “base” as duas soluções da homogênea:
y1 = e^-3x, y2 = x,e^-3x
O determinante (Wronskiano) é
[
W =
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^-3x & x e^-3x -3e^-3x & e^-3x-3x e^-3x = e^-6x,

yp = u1,y1 + u2,y2,
= e^{-6x},.
]
Na variação de parâmetros definimos funções u1' y1 + u2' y2 = 0, u1' y1' + u2' y2' = f(x), onde f(x)=x^-3e^-3x tais que
e elas obedecem ao sistema

Passo 4

As fórmulas diretas de variação de parâmetros dizem:
u1' = -,y2,f(x)W, u2' = y1,f(x)W
Substituindo:
u1' = -,x e^-3x,l(x^-3e^-3xr)e^-6x = -,x^-2, u2' = e^-3x,l(x^-3e^-3xr)e^-6x = x^-3

Passo 5

Integramos para achar u1(x) = integral (-x^-2),dx = +x^-1 + K1, u2(x) = integral x^-3,dx = -tfrac12 x^-2 + K2 e :
Como só precisamos de uma particular, podemos escolher .

Passo 6

Agora montamos
yp = u1,y1 + u2,y2 = l(x^-1r),e^-3x ;+;l(-tfrac12x^-2r),l(x e^-3xr) = x^-1e^-3x ;-;tfrac12,x^-1e^-3x = tfrac12,x^-1e^-3x

Resposta

A solução geral da equação é
boxed,y(x) = C1 e^-3x + C2,x,e^-3x ;+;tfrac12,x^-1e^-3x,

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