b) Ache uma solução implícita do problema de valor inicial
d yd x=y^2-x^2x y, y(1)=-raiz2

Passo 1

O problema de valor inicial é dado por dydx=y^2 - x^2x y com y(1)=-raiz2. Trata-se de uma equação diferencial de 1ª ordem homogênea, pois o lado direito depende apenas da razão y/x. Para resolver, vamos usar a substituição y=v x.

Passo 2

Definindo v=yx, expressamos o lado direito em função de v. Observando que y^2 - x^2 = x^2(v^2 - 1) e x y = x^2 v, temos
y^2 - x^2x y = x^2(v^2 - 1)x^2 v = v^2 - 1v = v - 1v

Passo 3

Calculamos a derivada de y em relação a x usando y=v x:
dydx = v + xdvdx
Substituindo na equação original resulta em
v + xdvdx = v - 1v,
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xdvdx = -1v

Passo 4

Separamos variáveis em v e x:
v,dv = -dxx
Integramos ambos os lados:
integral v,dv = -integral dxx
resultando em
v^22 = -ln|x| + C
que podemos reescrever como
v^2 = -2ln|x| + C1,
com C1 = 2C.

Passo 5

Voltando à variável y com v=yx, obtemos
y^2x^2 = -2ln|x| + C1
Aplicando a condição inicial y(1) = -raiz2
2 = -2ln 1 + C1 Rightarrow C1 = 2

Passo 6

Substituindo C1 = 2 na expressão implícita da solução, temos
y^2x^2 = 2 - 2ln|x|
que é equivalente a
(yx)^2 + 2ln|x| = 2

Resposta

(yx)^2 + 2ln|x| = 2

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