Resolva o problema de valor inicial e dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
d yd x+2(x+1) y^2=0, y(0)=-18

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI dydx + 2(x+1)y^2 = 0 com condição y(0) = -tfrac18. Isso é uma EDO de 1ª ordem separável: vamos separar variáveis, integrar, aplicar a condição inicial e depois achar o maior intervalo onde a solução existe.

Passo 2

Separamos variáveis colocando todos os y de um lado e x do outro:
dyy^2 = -2(x+1),dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y^-2,dy = -2integral (x+1),dx

Passo 4

O lado esquerdo dá
integral y^-2,dy = -y^-1 + C1
e o direito
-2integral (x+1),dx = -2l(tfracx^22 + xr) + C2 = -(x^2+2x) + C2
Juntando as constantes numa só ( C = C2 - C1) e mudando de sinal, obtemos
1y = x^2 + 2x + K

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0) = -tfrac18:
1-tfrac18 = -8 = 0^2 + 2cdot0 + K Longrightarrow K = -8

Passo 6

Logo a solução particular é
y(x) = 1x^2 + 2x - 8

Passo 7

Para achar o maior intervalo de existência, observamos que a solução vira singular quando o denominador x^2+2x-8=0. Isso fatoriza como (x+4)(x-2)=0, ou seja, em x=-4 e x=2. Como o ponto inicial é x=0, o maior intervalo que contém 0 e evita as singularidades é
I = (-4, 2)

Resposta

A solução do PVI é y(x)=1x^2+2x-8 e o maior intervalo de definição é I=(-4,2).

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