Resolva o problema de valor inicial e dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado pede resolver o PVI
com condição
. Isso é uma EDO de 1ª ordem separável: vamos separar variáveis, integrar, aplicar a condição inicial e depois achar o maior intervalo onde a solução existe.
Passo 2
Separamos variáveis colocando todos os
de um lado e
do outro:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
Passo 4
O lado esquerdo dá
e o direito
Juntando as constantes numa só (
) e mudando de sinal, obtemos
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
:
Passo 6
Logo a solução particular é
Passo 7
Para achar o maior intervalo de existência, observamos que a solução vira singular quando o denominador
. Isso fatoriza como
, ou seja, em
e
. Como o ponto inicial é
, o maior intervalo que contém 0 e evita as singularidades é
Resposta
A solução do PVI é
e o maior intervalo de definição é
.