Ache uma solução não-trivial para o sistema
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}=0 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=0 \\\\ 3 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}=0 \end{array}\right.
A partir daí, obtenha, em \mathbb{R}^{3}, uma combinação linear nula dos vetores v_{1}=(1,2,3), v_{2}=(2,1,-2), v_{3}=(3,1,1) e v_{4}=(4,-1,-2) na qual os coeficientes não são todos iguais a zero.

Passo 1

O enunciado pede primeiro uma solução não-trivial do sistema homogêneo
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}=0,\\\\ 2x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=0,\\\\ 3x_{1}-2x_{2}+x_{3}-2x_{4}=0, \end{cases}
que é um exemplo de encontrar o núcleo de uma aplicação linear de \mathbb{R}^4 em \mathbb{R}^3. Em seguida, usar esses coeficientes (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) para montar uma combinação linear nula dos vetores
v_{1}=(1,2,3),\quad v_{2}=(2,1,-2),\quad v_{3}=(3,1,1),\quad v_{4}=(4,-1,-2).

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes e aplicamos eliminação de Gauss:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 2 & 1 & 1 & -1\\\\ 3 & -2 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Fazendo R_{2}\!\leftarrow\!R_{2}-2R_{1} e R_{3}\!\leftarrow\!R_{3}-3R_{1} obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 0 & -3 & -5 & -9\\\\ 0 & -8 & -8 & -14 \end{pmatrix}.
Em seguida R_{2}\!\leftarrow\!-\tfrac13R_{2}
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 0 & 1 & \tfrac{5}{3} & 3\\\\ 0 & -8 & -8 & -14 \end{pmatrix},
e depois R_{3}\!\leftarrow\!R_{3}+8R_{2} leva a
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 0 & 1 & \tfrac{5}{3} & 3\\\\ 0 & 0 & \tfrac{16}{3} & 10 \end{pmatrix}.

Passo 3

Da última linha temos
\tfrac{16}{3}x_{3}+10x_{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=-\frac{10}{16/3}\,x_{4}=-\frac{15}{8}x_{4}.
Da segunda linha
x_{2}+\frac{5}{3}x_{3}+3x_{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=-\frac{5}{3}x_{3}-3x_{4}=\frac{1}{8}x_{4}.
Da primeira linha
x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}= -2x_{2}-3x_{3}-4x_{4}=\frac{11}{8}x_{4}.
Logo a solução geral é
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) =\Bigl(\tfrac{11}{8}t,\;\tfrac{1}{8}t,\;-\tfrac{15}{8}t,\;t\Bigr),
com parâmetro t=x_{4}.

Passo 4

Escolhendo t=8 para ter todos os coeficientes inteiros e não todos nulos, obtemos a solução não-trivial
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(11,\,1,\,-15,\,8).

Passo 5

Esses mesmos coeficientes fornecem a combinação linear nula em \mathbb{R}^3:
11\,v_{1}+1\,v_{2}-15\,v_{3}+8\,v_{4}=0.

Resposta

Uma solução não-trivial é (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(11,1,-15,8).
Em \mathbb{R}^3, a combinação linear nula é
11\,v_{1}+v_{2}-15\,v_{3}+8\,v_{4}=0.

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