Verifique se S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V nos seguintes casos:
V=\mathcal{P}(\mathbb{R}) e S=\{p \in \mathcal{P}(\mathbb{R}) \mid p(0)=2 p(1)\}

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial \displaystyle V=\mathcal{P}(\mathbb{R})
como o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais, e o subconjunto \displaystyle S=\{\,p\in\mathcal{P}(\mathbb{R})\mid p(0)=2\,p(1)\}.
Queremos verificar se S é um subespaço vetorial de V. Para isso vamos usar o critério de subespaço:
  1. o polinômio zero pertence a S,
  2. S é fechado sob soma,
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o polinômio nulo p(x)=0 pertence a S.
Temos
p(0)=0 \quad\text{e}\quad 2\,p(1)=2\cdot 0 = 0,
logo p(0)=2\,p(1). Portanto o polinômio zero está em S.

Passo 3

Mostramos fechamento de S sob soma.
Sejam p,q\in S. Então
p(0)=2\,p(1) \quad\text{e}\quad q(0)=2\,q(1).
Para o polinômio soma r=p+q segue
r(0)=(p+q)(0)=p(0)+q(0)=2\,p(1)+2\,q(1)=2\bigl(p(1)+q(1)\bigr)=2\,(p+q)(1),
logo r\in S.

Passo 4

Mostramos fechamento de S sob multiplicação escalar.
Seja \alpha\in\mathbb{R} e p\in S. Então
p(0)=2\,p(1).
Para o polinômio \alpha p segue
(\alpha p)(0)=\alpha\,p(0)=\alpha\bigl(2\,p(1)\bigr)=2\,\bigl(\alpha\,p(1)\bigr)=2\,(\alpha p)(1),
logo \alpha p\in S.

Passo 5

Como S contém o polinômio zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de V.

Resposta

Sim. S é subespaço vetorial de V.

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