Verifique se
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
nos seguintes casos:
e
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
como o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais, e o subconjunto .
Queremos verificar se é um subespaço vetorial de
. Para isso vamos usar o critério de subespaço:
como o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais, e o subconjunto
Queremos verificar se
- o polinômio zero pertence a
, -
é fechado sob soma, -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o polinômio nulo
pertence a
.
Temos
Temos
logo
. Portanto o polinômio zero está em
.
Passo 3
Mostramos fechamento de
sob soma.
Sejam . Então
Sejam
Para o polinômio soma
segue
logo
.
Passo 4
Mostramos fechamento de
sob multiplicação escalar.
Seja e
. Então
Seja
Para o polinômio
segue
logo
.
Passo 5
Como
contém o polinômio zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
Resposta
Sim.
é subespaço vetorial de
.