Verifique se S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V nos seguintes casos:
V=\mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}) e S=\left\{f \in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}) \mid a f^{\prime \prime}+b f^{\prime}+c f=0\right\}, em que a, b, c \in \mathbb{R} são fixados.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial \displaystyle V=\mathcal C^2(\mathbb R)
e o subconjunto \displaystyle S=\{\,f\in\mathcal C^2(\mathbb R)\mid a\,f''+b\,f'+c\,f=0\},
onde a,b,c\in\mathbb R são constantes fixas. O conteúdo é a verificação de que o conjunto de soluções de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem forma um subespaço vetorial. Para isso, precisamos checar três propriedades: (i) o vetor nulo pertence a S, (ii) S é fechado sob soma e (iii) S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a função zero \,f_0(x)=0 está em S. De fato,
a\,f_0''+b\,f_0'+c\,f_0 = a\cdot0 + b\cdot0 + c\cdot0 =0,
logo f_0\in S.

Passo 3

Mostramos que S é fechado sob soma. Seja f,g\in S. Então
a\,(f+g)''+b\,(f+g)'+c\,(f+g) = \bigl(a\,f''+b\,f'+c\,f\bigr) + \bigl(a\,g''+b\,g'+c\,g\bigr) =0+0=0.
Portanto f+g\in S.

Passo 4

Mostramos que S é fechado sob multiplicação por escalar. Seja \lambda\in\mathbb R e f\in S. Então
a\,(\lambda f)''+b\,(\lambda f)'+c\,(\lambda f) = \lambda\,(a\,f''+b\,f'+c\,f) = \lambda\cdot0 =0,
logo \lambda f\in S.

Resposta

S é um subespaço vetorial de V.

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