Ache a solução do P.V.I.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (P.V.I.) que a gente tem aqui. A equação diferencial que precisamos resolver é:
Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações exatas e como encontrar uma função potencial que satisfaça a equação. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a identificação dos termos $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $. A equação dada pode ser escrita como:
onde:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial está na forma exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Vamos calcular essas derivadas:
Observamos que:
Como $ 2(x + y) = 2x + 2y $, isso confirma que a equação é exata.
Passo 4
Sendo a equação exata, sabemos que existe uma função potencial $ \psi(x, y) $ tal que:
Vamos começar integrando $ M(x, y) $ em relação a $ x $ para encontrar $ \psi(x, y) $:
onde $ h(y) $ é uma função de $ y $ que aparece na integração.
Passo 5
Calculando a integral:
Expandindo
:
então:
Passo 6
Agora, vamos derivar $ \psi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ N(x, y) $ para encontrar $ h(y) $:
Igualando a $ N(x, y) $:
Simplificando:
Passo 7
Integrando $ h’(y) = -1 $:
onde $ C $ é a constante de integração. Portanto, a função potencial completa é:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial exata é dada por $ \psi(x, y) = C $. Aplicando a condição inicial $ y(1) = 1 $, vamos encontrar o valor de $ C $:
Resposta
A solução do P.V.I. é: