Ache a solução do P.V.I. (x+y)^2+(2 x y+x^2-1) d yd x=0, y(1)=1 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (P.V.I.) que a gente tem aqui. A equação diferencial que precisamos resolver é:
(x + y)^2 + (2xy + x^2 - 1) dydx = 0, y(1) = 1;
Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações exatas e como encontrar uma função potencial que satisfaça a equação. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a identificação dos termos $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $. A equação dada pode ser escrita como:
M(x, y)
onde:
N(x, y)
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0,

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial está na forma exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Vamos calcular essas derivadas:
M
y
Observamos que:
N
x
Como $ 2(x + y) = 2x + 2y $, isso confirma que a equação é exata.

Passo 4

Sendo a equação exata, sabemos que existe uma função potencial $ \psi(x, y) $ tal que:
psi(x, y)
partial psipartial x = M(x, y),
Vamos começar integrando $ M(x, y) $ em relação a $ x $ para encontrar $ \psi(x, y) $:
partial psipartial y = N(x, y)
onde $ h(y) $ é uma função de $ y $ que aparece na integração.

Passo 5

Calculando a integral:
psi(x, y) = integral (x + y)^2 , dx + h(y)
Expandindo (x + y)^2:
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2,
então:
psi(x, y) = integral (x^2 + 2xy + y^2) , dx + h(y) = 13x^3 + x^2y + y^2x + h(y)

Passo 6

Agora, vamos derivar $ \psi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ N(x, y) $ para encontrar $ h(y) $:
psi(x, y)
Igualando a $ N(x, y) $:
y
Simplificando:
N(x, y)

Passo 7

Integrando $ h’(y) = -1 $:
h'(y) = -1
onde $ C $ é a constante de integração. Portanto, a função potencial completa é:
h(y) = -y + C,

Passo 8

A solução geral da equação diferencial exata é dada por $ \psi(x, y) = C $. Aplicando a condição inicial $ y(1) = 1 $, vamos encontrar o valor de $ C $:
psi(x, y) = C
y(1) = 1
C

Resposta

A solução do P.V.I. é:
13x^3 + x^2y + y^2x - y = 43

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