Considere o P.V.I.
d yd t=2 t^2+y, y(0)=y0
Esboce o gráfico da solução para y0=-1.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o P.V.I. dado por y'=2t^2+y com condição inicial y(0)=-1. Este é um problema de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Vamos encontrar o fator integrante. A EDO pode ser escrita como
y'-y=2t^2
O fator integrante é
mu(t)=e^-integral1,dt=e^-t
Multiplicando ambos os lados por e^-t obtemos
ddtl(y,e^-tr)=2t^2,e^-t

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
integralddtl(y,e^-tr),dt=integral2t^2e^-t,dt
Fazendo integração por partes ou usando tabelas, obtemos
integral2t^2e^-t,dt=(-2t^2-4t-4)e^-t+C
Logo,
y,e^-t=(-2t^2-4t-4)e^-t+C
e, multiplicando por e^t, a solução geral
y(t)=-2t^2-4t-4+C,e^t

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=-1:
-1 = -0-0-4 + C,e^0 = -4 + C implies C=3
Assim a solução particular é
y(t)=-2t^2-4t-4+3e^t

Passo 5

Análise qualitativa do gráfico:
  • Para tto-infty, o termo polinomial domina e yto-infty.
  • Para t=0, temos y(0)=-1 e y'(0)=-1, ou seja, o gráfico está decrescendo.
  • Há um ponto crítico onde y'=2t^2+y=0, isto é,
3e^t=4t+4,
cuja solução numérica é aproximadamente tapprox0.93, com valor mínimo yapprox-1.85.
  • Para grandes t>0, o termo 3e^t domina e yto+infty, de forma exponencial.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Começa em yto-infty para tto-infty, sobe até cruzar t=0,y=-1, continua descendo até o mínimo em tapprox0.93,yapprox-1.85 e depois sobe de forma exponencial, cruzando o eixo y=0 em torno de tapprox1.8 e crescendo rapidamente.

Resposta

A solução exata é
y(t)=-2t^2-4t-4+3e^t
O gráfico qualitativo tem comportamento assim:
  • De tto-infty, yto-infty;
  • Em t=0, y=-1 com declive negativo;
  • Há um mínimo local em tapprox0.93, yapprox-1.85;
  • para t>0.93, o termo exponencial domina e yto+infty exponencialmente.

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