Considere o P.V.I.
Esboce o gráfico da solução para
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o P.V.I. dado por
com condição inicial
. Este é um problema de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Vamos encontrar o fator integrante. A EDO pode ser escrita como
O fator integrante é
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 3
Integramos ambos os lados em relação a
:
Fazendo integração por partes ou usando tabelas, obtemos
Logo,
e, multiplicando por
, a solução geral
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
:
Assim a solução particular é
Passo 5
Análise qualitativa do gráfico:
- Para
, o termo polinomial domina e . - Para
, temos e , ou seja, o gráfico está decrescendo. - Há um ponto crítico onde
, isto é,
cuja solução numérica é aproximadamente
, com valor mínimo
.
- Para grandes
, o termo domina e , de forma exponencial.
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Começa em
para , sobe até cruzar , continua descendo até o mínimo em e depois sobe de forma exponencial, cruzando o eixo em torno de e crescendo rapidamente.
Resposta
A solução exata é
O gráfico qualitativo tem comportamento assim:
- De
, ; - Em
, com declive negativo; - Há um mínimo local em
, ; - para
, o termo exponencial domina e exponencialmente.