Encontre a solução da equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ t^{2} \frac{dy}{dt} + y^{2} = ty $. Esse tipo de problema está na área de equações diferenciais, especificamente lidamos com uma equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e usar uma substituição que facilita a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
isolado. Temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, perceba que essa equação tem a forma de uma equação de Bernoulli, que é:
No nosso caso, $ P(t) = -\frac{1}{t} $, $ Q(t) = \frac{1}{t^{2}} $ e $ n = 2 $. Para resolver, usamos uma substituição.
Passo 4
Fazemos a substituição $ z = y^{1 - n} = y^{-1} $. Isso simplifica a equação. Vamos encontrar a derivada de $ z $ em relação a $ t $:
Passo 5
Substituindo
da equação original na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear na forma:
Onde $ P(t) = \frac{1}{t} $ e $ Q(t) = \frac{1}{t^{2}} $. Para resolver, encontramos um fator integrante.
Passo 7
Calculamos o fator integrante $ \mu(t) $:
Multiplicamos a equação inteira por $ \mu(t) $:
Passo 8
A equação agora fica:
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para $ z $:
Lembrando que $ z = y^{-1} $, então:
Passo 10
Finalmente, resolvemos para $ y $:
Resposta
A solução geral da equação é $ y(t) = \dfrac{t}{,\ln t\ +\ C} $, onde $ C $ é uma constante arbitrária.