Encontre a solução da equação t^2 d yd t+y^2=t y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ t^{2} \frac{dy}{dt} + y^{2} = ty $. Esse tipo de problema está na área de equações diferenciais, especificamente lidamos com uma equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e usar uma substituição que facilita a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar dydt isolado. Temos:
t^2 dydt = ty - y^2
Dividindo ambos os lados por t^2:
dydt = yt - y^2t^2

Passo 3

Agora, perceba que essa equação tem a forma de uma equação de Bernoulli, que é:
dydt + P(t) y = Q(t) y^n
No nosso caso, $ P(t) = -\frac{1}{t} $, $ Q(t) = \frac{1}{t^{2}} $ e $ n = 2 $. Para resolver, usamos uma substituição.

Passo 4

Fazemos a substituição $ z = y^{1 - n} = y^{-1} $. Isso simplifica a equação. Vamos encontrar a derivada de $ z $ em relação a $ t $:
z = y^1 - n = y^-1

Passo 5

Substituindo dydt da equação original na expressão de dzdt:
dzdt = -y^-2 ( yt - y^2t^2 ) = -1t y + 1t^2
Simplificando:
dzdt + 1t z = 1t^2

Passo 6

Agora, temos uma equação linear na forma:
dzdt + P(t) z = Q(t)
Onde $ P(t) = \frac{1}{t} $ e $ Q(t) = \frac{1}{t^{2}} $. Para resolver, encontramos um fator integrante.

Passo 7

Calculamos o fator integrante $ \mu(t) $:
mu(t)
Multiplicamos a equação inteira por $ \mu(t) $:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 1t dt = e^ln t = t

Passo 8

A equação agora fica:
ddt (t z) = 1t
Integrando ambos os lados:
t z = integral 1t dt + C = ln t + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para $ z $:
z
Lembrando que $ z = y^{-1} $, então:
z = ln t + Ct

Passo 10

Finalmente, resolvemos para $ y $:
y

Resposta

A solução geral da equação é $ y(t) = \dfrac{t}{,\ln t\ +\ C} $, onde $ C $ é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados