Calcule
ointC(y^22+ln (1+x^6)) d x+(2 x y+sen(5+5 y^2)) d y
onde C está orientado positivamente e é a fronteira da região em R^2 limitada pelas retas y=x, y=-x e pela circunferência x^2+y^2=4 com y >= 0.

Passo 1

Vamos resolver uma integral de linha que envolve calcular a integral ao longo de um caminho fechado . O enunciado nos dá uma expressão com funções de e e define a região limitada pelas retas , e a circunferência com . Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que compõem a integral de linha:
M(x, y) = y^22 + ln(1 + x^6)
O Teorema de Green nos diz que:
N(x, y) = 2xy + sen(5 + 5y^2)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Npartial x = partialpartial x (2xy + sen(5 + 5y^2)) = 2y

Passo 4

Substituímos as derivadas no Teorema de Green:
integral duplaD ( 2y - y ) dA = integral duplaD y , dA
Agora, precisamos calcular a integral dupla de sobre a região .

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Sabemos que:
x = r costheta
y = r sentheta

Passo 6

Determinar os limites de integração:
  • O raio varia de 0 até 2 (raio da circunferência).
  • O ângulo varia de a para abranger as linhas e no semicirculo superior.

Passo 7

Escrevemos a integral em coordenadas polares:
Calculamos a integral interna:
integral duplaD y , dA = integral-pi4^pi4 integral0^2 (r sentheta) cdot r , dr , dtheta = integral-pi4^pi4 sentheta integral0^2 r^2 , dr , dtheta

Passo 8

Substituímos o resultado da integral interna:
Sabemos que o cosseno é uma função par, então 83 integral-pi4^pi4 sentheta , dtheta = 83 [ -costheta ]-pi4^pi4 = 83 ( -cos(pi4) + cos(-pi4) ) . Portanto:
-cos(pi4) + cos(pi4) = 0

Resposta

O valor da integral é .

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