Calcule
onde
está orientado positivamente e é a fronteira da região em
limitada pelas retas
e pela circunferência
.
Passo 1
Vamos resolver uma integral de linha que envolve calcular a integral ao longo de um caminho fechado
. O enunciado nos dá uma expressão com funções de
e
e define a região limitada pelas retas
,
e a circunferência
com
. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções que compõem a integral de linha:
O Teorema de Green nos diz que:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituímos as derivadas no Teorema de Green:
Agora, precisamos calcular a integral dupla de
sobre a região
.
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Sabemos que:
Passo 6
Determinar os limites de integração:
- O raio
varia de 0 até 2 (raio da circunferência). - O ângulo
varia de a para abranger as linhas e no semicirculo superior.
Passo 7
Escrevemos a integral em coordenadas polares:
Calculamos a integral interna:
Passo 8
Substituímos o resultado da integral interna:
Sabemos que o cosseno é uma função par, então
. Portanto:
Resposta
O valor da integral é
.