Ache a solução particular da equação
d^2 xd t^2=1x(d xd t)^2
satisfazendo as condições iniciais x(0)=2 e x^prime(0)= 6.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
d^2xdt^2 = 1xl(dxdtr)^2
com condições iniciais x(0)=2 e x'(0)=6. Vamos usar a estratégia de reduzir essa ODE de segunda ordem a uma de primeira, explorando a relação entre x'', x' e x.

Passo 2

Observamos que
x'' = ddt(x') = dx'dx,dxdt = x',dx'dx
Substituindo isso na equação original, obtemos
x',dx'dx = 1x(x')^2
Como estamos buscando soluções com x'neq0, podemos dividir ambos os lados por x'.

Passo 3

Após simplificar, a equação fica
dx'dx = x'x
Essa é uma equação separável em x' e x, pronta para integrar.

Passo 4

Integramos os dois lados:
integral 1x',dx' = integral 1x,dx Longrightarrow ln x' = ln x + C
Daí segue
x' = A,x,
onde A = e^C é constante de integração.

Passo 5

Agora resolvemos a equação de primeira ordem
dxdt = A,x
Separando variáveis e integrando,
integral dxx = integral A,dt Longrightarrow ln x = A,t + B Longrightarrow x(t) = C1 e^A t

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais. Como x(0)=2, temos C1=2. E
x'(t) = A,C1 e^A t Longrightarrow x'(0)=Acdot2=6
implica A=3.

Resposta

x(t) = 2e^3t

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