Considere a seguinte equação para a posição x(t) de um objeto
d^2 xd t^2+k d xd t=t
onde k>0. Ache a solução geral da equação e a solução particular com x(0)=x0 e d xd t(0)=v0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
d^2xdt^2 + k,dxdt = t,
onde k>0. Vamos usar o método geral para EDO linear: primeiro achamos a solução da parte homogênea, depois uma solução particular por coeficientes indeterminados, e por fim impomos as condições iniciais x(0)=x0 e x'(0)=v0.

Passo 2

A equação homogênea associada é
d^2xdt^2 + k,dxdt = 0
Assumindo xh(t)=e^rt obtemos a equação característica
r^2 + k,r = 0 ;Longrightarrow; r(r + k)=0 ;Longrightarrow; r=0,,-k
Logo a solução geral da parte homogênea é
xh(t) = C1 + C2,e^-k t,
com constantes arbitrárias C1,C2.

Passo 3

Procuramos uma solução particular xp(t) para o termo não-homogêneo t. Como o lado direito é um polinômio de grau 1 e a homogênea já admite termo constante, tentamos
xp(t) = A,t^2 + B,t
Calculamos
xp'(t) = 2A,t + B, xp''(t)=2A,
e substituímos em
xp'' + k,xp' = t ;Longrightarrow; 2A + k(2A,t + B) = t
Igualando coeficientes de t e de termo constante obtemos
2A,k = 1 Longrightarrow A = 12k,
2A + B,k = 0 Longrightarrow B = -1k^2
Portanto
xp(t) = 12k,t^2 - 1k^2,t

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1 + C2,e^-k t + 12k,t^2 - 1k^2,t

Passo 5

Agora usamos as condições iniciais. Primeiro
x(0)=C1 + C2 = x0
Em seguida, derivando
x'(t) = -k,C2,e^-k t + tk - 1k^2,
logo em t=0
x'(0) = -k,C2 - 1k^2 = v0 ;Longrightarrow; C2 = -v0 + tfrac1k^2k = -v0k - 1k^3
E daí
C1 = x0 - C2 = x0 + v0k + 1k^3

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz x(0)=x0 e x'(0)=v0:
x(t) = l(x0 + v0k + 1k^3r) - l(v0k + 1k^3r)e^-k t + 12k,t^2 - 1k^2,t

Resposta

Solução geral:
x(t) = C1 + C2,e^-k t + 12k,t^2 - 1k^2,t
Solução particular com x(0)=x0, x'(0)=v0:
x(t) = l(x0 + v0k + 1k^3r) - l(v0k + 1k^3r)e^-k t + 12k,t^2 - 1k^2,t

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