Considere a seguinte equação para a posição
de um objeto
onde
. Ache a solução geral da equação e a solução particular com
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
onde
. Vamos usar o método geral para EDO linear: primeiro achamos a solução da parte homogênea, depois uma solução particular por coeficientes indeterminados, e por fim impomos as condições iniciais
e
.
Passo 2
A equação homogênea associada é
Assumindo
obtemos a equação característica
Logo a solução geral da parte homogênea é
com constantes arbitrárias
.
Passo 3
Procuramos uma solução particular
para o termo não-homogêneo
. Como o lado direito é um polinômio de grau 1 e a homogênea já admite termo constante, tentamos
Calculamos
e substituímos em
Igualando coeficientes de
e de termo constante obtemos
Portanto
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma
Passo 5
Agora usamos as condições iniciais. Primeiro
Em seguida, derivando
logo em
E daí
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz
e
:
Resposta
Solução geral:
Solução particular com
,
: