Calcule a massa e o centro de massa do hemisfério sólido descrito por E=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2 <= 4, z >= 0, de densidade de massa constante de<a, (Lembrando que barx=integral tripla x de<a d V / M, bary=integral tripla y de<a d V / M e barz= integral tripla z de<a d V / M).

Passo 1

O enunciado pede a massa M e o centro de massa (bar x,bar y,bar z) de um hemisfério de raio 2, definido por
E=(x,y,z)mid x^2+y^2+z^2<=4,;z>=0,
com densidade constante de<a.
Como a distribuição é homogênea e o sólido é simétrico em x e y, teremos bar x=bar y=0. Para M e bar z vamos usar coordenadas esféricas:
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
0<=rho<=2, 0<=phi<=tfracpi2, 0<=theta<=2pi,
e dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.

Passo 2

Calcular a massa
M=integral triplaEde<a,dV =integraltheta=0^2pi!integralphi=0^pi/2!integralrho=0^2 de<a,rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Integramos em rho:
integral0^2rho^2,drho=rho^33|0^2=83,
em phi:
integral0^pi/2sinphi,dphi =l(-cosphir)0^pi/2=1,
e em theta:
integral0^2pidtheta=2pi
Logo
M=de<a;83times1times2pi =16pi3,de<a

Passo 3

Pela simetria do hemisfério em torno dos eixos x e y, imediatamente
bar x =1Mintegral triplaEx,de<a,dV =0, bar y=0

Passo 4

Calcular bar z via
bar z =1Mintegral triplaEz,de<a,dV =de<aM integral0^2pi!integral0^pi/2!integral0^2 (rhocosphi),rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Integramos em rho:
integral0^2rho^3,drho =rho^44|0^2 =4,
em phi:
integral0^pi/2cosphi,sinphi,dphi =12sin^2phi|0^pi/2 =12,
e em theta:
integral0^2pidtheta=2pi
Portanto
integral triplaEz,de<a,dV =de<a;4timestfrac12times2pi =4pi,de<a
e
bar z =4pi,de<atfrac16pi3,de<a =416/3 =34

Resposta

Massa:
M=16pi3,de<a
Centro de massa:
bar x=0, bar y=0, bar z=34

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