Determine a linearização das seguintes funções ao redor dos pontos dados:
f(x, y)=raiz[4]x^2+y^2,(1,0)

Passo 1

O enunciado pede a linearização de
f(x,y)=raiz[4]x^2+y^2
em torno do ponto (1,0).
Para isso vamos usar o conceito de aproximação linear ou polinômio de Taylor de primeira ordem para funções de duas variáveis, que é
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b),(x-a)+fy(a,b),(y-b),
onde (a,b)=(1,0) neste caso.

Passo 2

Calculamos o valor de f no ponto (1,0):
f(1,0)=raiz[4]1^2+0^2=raiz[4]1=1

Passo 3

Agora achamos as derivadas parciais de f. Usando a regra da cadeia em
f(x,y)=(x^2+y^2)^1/4,
temos
fx(x,y) =14(x^2+y^2)^-3/4cdot 2x =x2,(x^2+y^2)^-3/4,
fy(x,y) =14(x^2+y^2)^-3/4cdot 2y =y2,(x^2+y^2)^-3/4

Passo 4

Avaliamoas derivadas em (1,0):
fx(1,0)=12,(1^2+0^2)^-3/4=12, fy(1,0)=02,(1^2+0^2)^-3/4=0

Passo 5

Substituímos em
L(x,y)=f(1,0)+fx(1,0),(x-1)+fy(1,0),(y-0),
obtendo
L(x,y)=1+12(x-1)+0cdot y =1+12(x-1)

Resposta

L(x,y)=1+12(x-1)

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