(Diferenciais) A aresta de um cubo tem 0^8 cm, com um possível erro de medida de 0,1 cdot 2 cm. Use diferenciais para estimar o erro possível no cálculo:
do volume do cubo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a aresta de um cubo medindo com uma possível margem de erro de . O conteúdo que vamos usar aqui é o de diferenciais, que ajuda a estimar como pequenas mudanças em uma medida podem afetar outra. No nosso caso, vamos ver como esse erro na aresta pode influenciar no cálculo do volume do cubo. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do volume do cubo e calcular seu diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume V = a^3 de um cubo é dado por:
onde é a aresta do cubo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o diferencial do volume. O diferencial dVda = 3a^2 nos mostra como uma pequena variação em dV = 3a^2 cdot da ( ) afeta o volume. Para isso, derivamos em relação a :
Então, o diferencial é:

Passo 4

Substituindo os valores que temos:
a = 8 , cm e da = 0,2 , cm
Então:
dV = 3 times (8)^2 times 0,2

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
8^2 = 64
3 times 64 = 192
192 times 0,2 = 38,4
Então:
dV = 38,4 , cm^3

Resposta

O erro possível no cálculo do volume do cubo é de aproximadamente .

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