Ache a solução particular para os problemas de valor inicial dados.
y^prime+x^2 y=e^x^3 y^43 e y(0)=12

Passo 1

O enunciado pede a solução particular do problema de valor inicial
y'+x^2y = 13e^x^3y^4, y(0)=tfrac12
O conteúdo que vamos usar é a equação de Bernoulli, que tem forma
y'+P(x),y = Q(x),y^n
Aqui P(x)=x^2, Q(x)=tfrac13e^x^3 e n=4. Para resolver, aplicamos a transformação
z = y^1-n = y^-3

Passo 2

Derivando z em relação a x, obtemos
z' = -3,y^-4,y'
Substituindo y' da equação original e isolando em z, chegamos à equação linear
z' - 3x^2,z = -,e^x^3

Passo 3

Para resolver essa equação linear usamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral -3x^2,dxr) = e^-x^3
Multiplicando toda a equação por mu(x), temos
l(e^-x^3,zr)' = -,e^x^3,e^-x^3 = -1
Integrando em x, vem
e^-x^3,z = -x + C,
ou seja
z = -,x,e^x^3 + C,e^x^3

Passo 4

Usamos a condição inicial , o que implica
Em a fórmula de , então . Logo

Passo 5

Voltando à variável original, z=y^-3 implica
y = z^-1/3 = l(e^x^3(8 - x)r)^-1/3 = e^-,x^3/3,(8 - x)^-1/3

Resposta

boxedy(x) = e^-,x^33;(8 - x)^-13,,
que satisfaz y'+x^2y=tfrac13e^x^3y^4 e y(0)=tfrac12.

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