Ache a solução particular para os problemas de valor inicial dados.
y e^x y+4 y^3+(x e^x y+12 x y^2-2 y) y^prime=0 e y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y,e^x y+4,y^3+l(x,e^x y+12,x,y^2-2,yr),y'=0, y(0)=2
Este tipo de equação pode ser vista como
M(x,y)+N(x,y),y'=0
com
M(x,y)=y,e^x y+4,y^3, N(x,y)=x,e^x y+12,x,y^2-2,y
Vamos verificar se é uma equação exata, encontrar uma função potencial psi(x,y) tal que
psix=M, psiy=N,
e então usar y(0)=2.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais
partial Mpartial y =partialpartial yl(y,e^x yr)+partialpartial y(4y^3) =e^x y+x,y,e^x y+12,y^2,
partial Npartial x =partialpartial xl(x,e^x yr) +partialpartial x(12,x,y^2)-partialpartial x(2y) =e^x y+x,y,e^x y+12,y^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar psi(x,y) integramos M em relação a x:
psi(x,y)=integrall(y,e^x y+4,y^3r),dx =integral y,e^x y,dx+4,y^3,x +h(y)
Como partialx e^x y=y,e^x y, segue
psi(x,y)=e^x y+4,x,y^3+h(y)

Passo 4

Agora impomos psiy=N:
psiy =partialpartial yl(e^x y+4x,y^3+h(y)r) =x,e^x y+12,x,y^2+h'(y) stackrel!=x,e^x y+12,x,y^2-2,y
Logo
h'(y)=-2,y Longrightarrow h(y)=-y^2+C1
Podemos absorver C1 em uma constante final C. Assim
psi(x,y)=e^x y+4,x,y^3-y^2

Passo 5

A condição inicial y(0)=2
psi(0,2)=e^0cdot2+4cdot0cdot2^3-2^2 =1-4=-3,
então o valor da constante é C=-3.

Resposta

A solução particular, em forma implícita, é
e^x y+4,x,y^3-y^2=-3

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